Question

5．在如图所示的区域里，y轴左侧是匀强电场，场强E=4×10⁵N/C，方向与y轴负方向夹角为30°．在y轴右方有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，B=0.01T，现有质量为m=1.6×10^-27kg的质子，以v₀=2×10⁵m/s的速度从x轴上的A点射出（A点与坐标原点O相距10cm），第一次沿x轴正方向射出；第二次沿x轴负方向射出．求：
（1）质子先后两次进入电场前在磁场中运动的时间的比值；
（2）第一次进入电场后在电场中运动的时间．
（3）第一次质子进入电场和射出的电场时的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做匀速圆周运动，求出半径和周期，画出两次圆周运动的轨迹，根据几何关系求出两次做圆周运动所转过的圆心角即可；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，利用运动的分解把类平抛分解为沿电场方向的匀加速直线运动和垂直电场线方向的匀速直线运动，对分运动运用牛顿第二定律结合运动学规律即可；
（3）接着第二问的类平抛继续分析，运用几何关系即可求出两点坐标．

解答 解：（1）设质子电量为q，质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，两次的圆心角分别θ₁和θ₂，两次的运动时间分别为t₁和t₂
        如图质子进入磁场后座匀速圆周运动，由qv₀B=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$①
        已知数据代入①式得：R=20cm
        质子两次运动的轨迹如图所示，最后两质子均垂直于电场线方向进入电场，有几何关系可知：
        质子第一次从A点射入磁场的轨迹圆心角：θ₁=210° ②
        质子第二次从A点射入磁场的轨迹圆心角：θ₂=30° ③
        质子在磁场中运动的周期：T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$④
        ①④联立得：T=$\frac{2πm}{qB}$ 
        质子在磁场运动的时间：t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θ}{2π}$$\frac{2πm}{qB}$ ⑤
        ②③代入⑤式得：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}$=$\frac{210}{30}$=7：1
（2）设质子第一次在电场中运动的时间为t′，该时间内在垂直电场方向的位移为x₁，平行于电场线方向的位移为y₁，加速度为大小为a
        根据类平抛规律，对质子有：x₁=v₀t′⑥
        y₁=$\frac{1}{2}$at′² ⑦
        根据牛顿第二定律：Eq=ma ⑧
        根据几何关系：tan60°=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$ ⑨
       联立⑥⑦⑧⑨式，代入题给数据得：t′=$\sqrt{3}$×10^-8s≈1.73×10^-8s
（3）设第一次质子在电场运动的合位移大小为s，第一次进入电场时纵坐标y₁′，射出电场时纵坐标y₂′
        根据几何关系得：s=2x₁       
        s=4$\sqrt{3}$×10^-3m
        第一次进入电场时纵坐标y₁′=R（1+cos30°）≈37.3cm
        第一次进入电场时纵坐标y₂′=R（1+cos30°）-s≈36.6cm
        所以第一次质子进入电场时的位置坐标为（0，37.3cm）；第一次质子射出电场时的位置坐标为（0，36.6cm）
答：（1）质子先后两次进入电场前在磁场中运动的时间的比值为7：1；
      （2）第一次进入电场后在电场中运动的时间为1.73×10^-8s；
      （3）第一次质子进入电场时的位置坐标为（0，37.3cm）；第一次质子射出电场时的位置坐标为（0，36.6cm）

点评 本题考查带电粒子在电场中的类平抛运动和磁场中的匀速圆周运动，解决磁场问题时一定要作图，这样才能更快地确定圆心，找到几何关系；类平抛用运动的合成和分解处理，第二问中⑨式用到了类平抛运动的位移偏向角公式（与平抛类似），注意总结归纳．