题目内容
20．
如图所示，光滑绝缘水平面上静止放置一根长为L、质量为m、带+Q电量的绝缘棒AB，棒的质量和电量分布均匀，O点右侧区域存在大小为E、水平向左的匀强电场，B、O之间的距离为x0．现对棒施加水平向右、大小为F=$\frac{1}{4}$QE的恒力作用，求：（1）B端进入电场$\frac{1}{8}$L时加速度的大小和方向．
（2）棒在运动过程中获得的最大动能．
（3）棒具有电势能的最大可能值．（设O点处电势为零）
分析 （1）棒的B端进入电场$\frac{1}{8}$L时，分析棒的受力情况：向右的恒力$\frac{1}{4}$QE，向左的电场力$\frac{L}{8}•\frac{QE}{L}$，根据牛顿第二定律求解加速度；
（2）棒进入电场的过程中，恒力先大于电场力，后恒力小于电场力，棒先做加速运动后做减速运动，当恒力与电场力平衡时，速度最大，由平衡条件求出棒进入电场的距离，由动能定理求解最大动能；
（3）棒减速到零时，棒可能全部进入电场，也可能不能全部进入电场，分情况进行讨论，根据动能定理求出棒进入电场的距离，由电场力做功求出电势能的最大值．
解答 解：（1）根据牛顿第二定律：$\frac{QE}{4}-（\frac{L}{8}•\frac{Q}{L}）E=ma$
解出$a=\frac{QE}{8m}$，方向水平向右．
（2）设棒进入电场x时，其动能达到最大，
此时棒所受合力应为零，即：$\frac{QE}{4}=x•\frac{Q}{L}E$，得x=$\frac{1}{4}$L
动能定理：$\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+x）-\frac{（0+\frac{QE}{4}）}{2}x={E}_{k}^{\;}-0$
解出动能最大值${E}_{km}^{\;}=\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+\frac{L}{8}）$
（3）设绝缘棒恰好能够全部进入电场，
动能定理：$\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+L）-\frac{Q}{2}EL=0$，解出得x0=L．
存在三种可能性：
可能1，x0=L时，电势能最大值${E}_{m}^{\;}=\frac{1}{2}QEL$
可能2，x0＜L，棒只能部分进入电场，设进入电场x，
动能定理：$\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+x）-\frac{0+\frac{xQE}{L}}{2}x=0$，解得：$x=\frac{{L+\sqrt{{L^2}+8L{x_0}}}}{4}$，
电势能最大值${E}_{m}^{\;}=\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+\frac{L+\sqrt{{L}_{\;}^{2}+8L{x}_{0}^{\;}}}{4}）$
可能3，x0＞L，棒全部进入电场，
设进入电场x′，动能定理：$\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+x）-\frac{QE}{2}L-QE（x′-L）=0$，解得：$x′=\frac{{{x_0}+2L}}{3}$，
电势能最大值${E}_{m}^{\;}=\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+x）=\frac{QE}{4}\frac{4{x}_{0}^{\;}+2L}{3}$=$\frac{QE（2{x}_{0}^{\;}+L）}{6}$
答：（1）B端进入电场$\frac{1}{8}$L时加速度的大小$\frac{QE}{8m}$和方向水平向右．
（2）棒在运动过程中获得的最大动能$\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+\frac{L}{8}）$．
（3）棒具有电势能的最大可能值可能1，x0=L时，电势能最大值${E}_{m}^{\;}=\frac{1}{2}QEL$
可能2，x0＜L，棒只能部分进入电场电势能最大值${E}_{m}^{\;}=\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+\frac{L+\sqrt{{L}_{\;}^{2}+8L{x}_{0}^{\;}}}{4}）$
可能3，x0＞L，棒全部进入电场电势能最大值${E}_{m}^{\;}=\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+x）=\frac{QE}{4}\frac{4{x}_{0}^{\;}+2L}{3}$=$\frac{QE（2{x}_{0}^{\;}+L）}{6}$
点评 本题中由于棒受到的电场力随x均匀变化，用平均值求解电场力做功．棒能否全部进入电场不清楚时，要分情况进行讨论，不能漏解
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| B． | 若将该粒子从M点移动到N点，电场力做功w=$\frac{{w}_{1}+{w}_{2}}{2}$ | |
| C． | 若D、C之间的距离为d，则该电场的场强大小为E=$\frac{{w}_{2}}{qd}$ | |
| D． | 若M、N之间的距离为d，该电场的场强最小值为E=$\frac{{w}_{1}+{w}_{2}}{2qd}$ |
| A． | 5：1 | B． | 1：5 | C． | 25：1 | D． | 1：1． |
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