Question

13．某种工业上用质谱仪将铀离子从其他相关元素中分离出来，如图所示，铀离子通过U=100KV的电势差加速后进入匀强磁场分离器，磁场中铀离子的路径为半径r=1.00m的半圆，最后铀离子从狭缝出来被收集在一只杯中，已知铀离子的质量m=3.92×10^-25kg，电量q=3.20×10^-19C，如果该设备每小时分离出的铀离子的质量m=100mg，则：（为便于计算$\sqrt{3.92}$≈2）
（1）求匀强磁场的磁感应强度
（2）计一小时内杯中所产生的内能
（3）计算离子流对杯产生的冲击力．

Answer 1

分析 由于题目给出的是铀离子做匀速圆周运动，所以可以不考虑铀离子的重力．
（1）由洛仑兹力提供向心力，求出磁感应强度大小．
（2）杯中产生的内能是由铀离子撞击而转化而来，所以求出1小时撞击杯子所有离子的动能，就能得到杯中所产生的内能．
（3）由动量定定理，正因为杯子对离子有阻力才使离子的速度减小为零，动量减小为零，求出阻力，再由牛顿第三定律求出离子对杯子的冲击力．

解答 解（1）铀离子在加速电场中加速时，由动能定理：
    $qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
  铀离子做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力提供：
     $qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
  所以：$B=\frac{mv}{qr}=\frac{m\sqrt{\frac{2qU}{m}}}{qr}=\frac{1}{r}\sqrt{\frac{2Um}{q}}=\frac{1}{1}\sqrt{\frac{2×1{0}^{5}×3.92×1{0}^{-25}}{3.2×1{0}^{-19}}}$=0.5T
（2）每小时加速铀离子的数目$n=\frac{M}{m}=\frac{100×1{0}^{-3}}{3.92×1{0}^{-25}}=2.56×1{0}^{24}$个，每个铀离子加速获得的动能为：
      ${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=Uq$
  这些动能全部转化为内能，则n个铀离子全部与杯子碰撞后产生的总的内能为：
 Q=nE_k=nUq=2.56×10²⁴×10⁵×3.2×10^-19J=8.19×10¹⁰J  
（3）经过1小时，把这些铀离子看成一个整体据动理定理：
-F_Nt=0-Mv
  所以求得杯子对这些铀的反弹力：${F}_{N}=\frac{Mv}{t}=\frac{100×1{0}^{-3}×\sqrt{\frac{2×1{0}^{5}×3.2×1{0}^{-19}}{3.92×1{0}^{-25}}}}{3600}N$=11.1N 
  据牛顿第三定律，离子对杯子的冲击力大小等于11.1N．
答：（1）匀强磁场的磁感应强度为0.5T．
（2）一小时内杯中所产生的内能为8.19×10¹⁰J．
（3）这些离子流对杯产生的冲击力为11.1N．

点评 本题是力与能两方面内容的综合，首先涉及到的是带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题，这完全是动力学问题．其次是离开磁场后运动的铀离子与杯子碰撞，理所当然地动能全部转化为内能了，最后又涉及到碰撞的力学问题，这是选修3-5内容，把这些碰撞的铀当成一个整体由动理定理和牛顿第三定律求出冲击力．