Question

13．如图所示，传送装置由轮半径均为R=$\frac{1}{π}$米的主动轮O₂和动轮O₁以及始终绷紧的传送带等构成，装置倾角θ=30°，上下两轮轴心O₁、O₂相距L=10m，A、B两点为传送带与转动轮的相切点．现将一煤块（可视为质点）轻放在传送带的A点，经传送带向上传送，在B点进入上平台．已知煤块与传送带之间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，g取10m/s²．
（1）若传送带始终以v=5m/s的速率顺时针转动，则煤块从A到B所用的时间为多少？
（2）要想尽快将煤块由A点运送到B点，则传送带的速率至少应为多大？
（3）煤块与传送带相对滑动时会在传送带上留下黑色的痕迹，那么，当传送带的速率满足什么条件时，能使传送带上留下的黑色痕迹最长？

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出加速与运动的时间，然后求出总时间．
（2）由匀变速直线运动的速度位移公式求出传送带的速度．
（3）应用牛顿第二定律、运动学公式求出初速度的最小速度，然后答题．

解答 解：（1）煤块从A到B过程，先加速后运动，由牛顿第二定律得：
μmgcosθ-mgsinθ=ma，
代入数据解得：a=2.5m/s²，
煤块加速的时间为：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{5}{2.5}$=2s，
加速位移为：x₁=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{{5}^{2}}{2×2.5}$=5m，
匀速运动的时间为：t₂=$\frac{L-{x}_{1}}{v}$=$\frac{10-5}{5}$=1s，
从A到B煤块的运动时间为：t=t₁+t₂=3s；
（2）要使煤块尽快由A运动到B点，煤块应一直加速运动，
由v₂²=2aL，
代入数据解得：v₂=5$\sqrt{2}$m/s≈7.07m/s，则传送带的速率至少为7.07m/s；
（3）传送带的速度越大，黑色痕迹越长，黑色痕迹最长为传送带的长度，即：
s=2L+2πR，s=22m，
煤块由A点运送到B点时间内，传送带运转的距离：s_总=s+L，s_总=32m，
煤块由A到B的运动时间为：t₃=$\frac{v}{a}$，
解得：t₃=2$\sqrt{2}$s，
传送带运转的速度至少为：v₃=$\frac{{s}_{总}}{{t}_{3}}$，
解得：v₃=8$\sqrt{2}$m/s≈11.3m/s，
则初速度的速率大于11.3m/s时，能使传送带上流向的黑色痕迹最长；
答：（1）若传送带始终以v=5m/s的速率顺时针转动，则煤块从A到B所用的时间为3s；
（2）要想尽快将煤块由A点运送到B点，则传送带的速率至少应为7.07m/s；
（3）当传送带的速率v≥11.3m/s时，能使传送带上留下的黑色痕迹最长．

点评 本题考查了求运动时间、传送带速度问题，分析清楚煤块的运动过程，应用牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．