Question

19．如图所示，某次发射远地圆轨道卫星时，先让卫星进入一个近地的圆轨道I，在此轨道正常运行时，卫星的轨道半径为R₁、周期为T₁；然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道II，在此轨道正常运行时，卫星的周期为T₂；到达远地点Q时再次点火加速，进入远地圆轨道III在此轨道正常运行时，卫星的轨道半径为R₃、周期为T₃（轨道II的近地点和远地点分别为轨道I上的P点、轨道III上的Q点）．已知R₃=2R₁，则下列关系正确的是（　　）

• A． T₂=3$\sqrt{3}$T₁
• B． T₂=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$T₃
• C． T₃=2$\sqrt{2}$T₁
• D． T₃=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$T₁

Answer 1

分析 根据开普勒第三定律：$\frac{a^3}{T^2}=k$，k是与卫星无关的物理量，即所有卫星的比值k都相同，代入数据计算即可，其中圆轨道的a为圆的半径，椭圆轨道的a等于半长轴．

解答 解：CD、根据开普勒第三定律：$\frac{a^3}{T^2}=k$
所以$\frac{T_3^2}{T_1^2}=\frac{R_3^3}{R_1^3}=\frac{2^3}{1}$
解得$\frac{T_3}{T_1}=2\sqrt{2}$
即${T_3}=2\sqrt{2}{T_1}$，
故C正确、D错误．
A、根据开普勒第三定律：$\frac{a^3}{T^2}=k$，
所以$\frac{T_2^2}{T_1^2}=\frac{{{{（\frac{{{R_1}+{R_3}}}{2}）}^3}}}{R_1^3}={（\frac{{\frac{3}{2}{R_1}}}{R_1}）^3}={（\frac{3}{2}）^3}$
解得$\frac{T_2}{T_1}=\frac{{3\sqrt{6}}}{4}$
即$\frac{{3\sqrt{6}}}{4}{T_1}$
故A错误．
B、根据开普勒第三定律：$\frac{a^3}{T^2}=k$，
所以 $\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{3}^{2}}$=$\frac{（\frac{{R}_{1}+{R}_{3}}{2}）^{3}}{{R}_{3}^{3}}$=（$（\frac{\frac{3}{2}{R}_{1}}{2{R}_{1}}）^{3}$=（$\frac{3}{4}$）³
解得 $\frac{{T}_{2}}{{T}_{3}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，即T₂=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$T₃，故B正确．
故选：BC．

点评 本题主要考查开普勒第三定律，即$\frac{a^3}{T^2}=k$．要注意的是椭圆轨道的a为半长轴，即a=$\frac{{R}_{1}+{R}_{3}}{2}$．