Question

10．在如图所示的xOy平面直角坐标系中，y轴右侧有沿y轴正向、场强为E的匀强电场，一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从O点以某一初速度v₀（未知）沿x轴正向射入电场后，刚好通过第一象限的P点，OP长为d，与y轴正方向夹角θ=60°；撤去电场，在y轴左侧加一垂直纸面向里的匀强磁场，带电粒子以大小相同的速度v₀从O点进入磁场，方向与磁场及OP垂直，粒子离开磁场后，仍能经过P点，不计粒子重力．

（1）求v₀的值；
（2）求y轴左侧磁场的磁感应强度B₀的大小；
（3）若题中其它条件不变，仅将y轴左侧的磁场改为大小仍为B₀、方向随时间作周期性变化的磁场，变化规律如图所示，同时让粒子在t=0时刻进入磁场．已知图中t₀=$\frac{5πm}{6q{B}_{0}}$，以垂直纸面向里为磁场的正方向．调整时间△T，确保粒子离开磁场后仍过P点，求粒子在磁场中运动时间的可能值．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，根据几何关系结合平抛运动基本公式求出速度；
（2）画出粒子在磁场中运动轨迹，根据几关系求出半径，再由牛顿第二定律求解磁场强度；
（3）设粒子进入磁场运动t₀时间转过的角度为β，求出β，粒子运动到x轴负方向上时，磁场改变方向，粒子偏转n个圆周后回到x轴负方向上的点，磁场再次改变方向，求出可使粒子从Q点离开磁场时，在磁场中转过的角度，再结合周期求出求出粒子在磁场中运动时间的可能值．

解答 解：（1）粒子在电场中运动时，则有：
dsin60°=v₀t₁，
dcos60$°=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
Eq=ma，
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{3Eqd}{4m}}$
（2）粒子在磁场中运动轨迹，如图所示：

设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系得：∠OO₁Q=60°，O₁O=OQ=R
△OPQ为等腰三角形，OP=OQ=d，
由牛顿第二定律得：
q${v}_{0}{B}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：${B}_{0}=\sqrt{\frac{3mE}{4qd}}$
（3）由题意知，粒子进入磁场运动t₀时间转过的角度为β，则${t}_{0}=\frac{β}{2π}•\frac{2πm}{{B}_{0}q}$，
解得：$β=\frac{5}{6}π$，
故粒子运动到M点时，磁场改变方向，粒子偏转n个圆周后回到M点，磁场再次改变方向，可使粒子从Q点离开磁场，△T=nT，粒子在经过磁场中转过的角度$α=\frac{5}{3}π$
粒子在磁场中运动的时间t=△T+t′
$t′=\frac{α}{2π}T=\frac{α}{2π}•\frac{2πm}{{B}_{0}q}$
得：t=（n+$\frac{5}{6}$）$•\frac{2πm}{q{B}_{0}}$或（4n+$\frac{10}{3}$）$π\sqrt{\frac{md}{3Eq}}$（n=1，2，3…）
答：
（1）v₀的值为$\sqrt{\frac{3Eqd}{4m}}$；
（2）y轴左侧磁场的磁感应强度B₀的大小为$\sqrt{\frac{3mE}{4qd}}$；
（3）粒子在磁场中运动时间的可能值为（n+$\frac{5}{6}$）$•\frac{2πm}{q{B}_{0}}$或（4n+$\frac{10}{3}$）$π\sqrt{\frac{md}{3Eq}}$（n=1，2，3…）．

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，注意在磁场中的运动要注意几何关系的应用，在电场中注意由类平抛运动的规律求解，难度较大．