Question

19．如图所示，一竖直平面内的光滑圆弧轨道ABC，B点为最低点，O为圆心，轨道半径R=1m，OA连线与OB夹角θ=37°．现有一个质量m=0.2kg的小球（可视为质点）以某一速度v₀=8m/s从P点水平抛出，恰好从圆弧轨道的A点沿切线方向进入（不计空气阻力），（sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²），求：
（1）P点与A点的水平距离和竖直高度；
（2）小球到达圆弧最高点C时受到轨道的作用力．

Answer 1

分析 （1）由平抛运动规律可求得下落时间，竖直方向的自由落体规律以及水平方向上的匀速直线运动规律可求得水平位移和竖直高度；
（2）由平抛运动规律可求得小球经过A点的速度，再根据机械能守恒定律可求得C点的速度，再由向心力公式可求得支持力大小．

解答 解：（1）小球运动到A点时：竖直速度：
v_y=v₀tanθ=8×$\frac{3}{4}$=6m/s
时间为：t=$\frac{{v}_{y}}{g}$=$\frac{6}{10}$=0.6s
下落高度为：h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{36}{20}$=1.8m；
水平距离为：x=v₀t=8×0.6=4.8m；
（2）运动到A点时速度为：
v_A=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{8}{0.8}$=10m/s
由A到C机械能守恒有：
$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv_c²+mgR（1+cosθ）
在C点由牛顿第二定律有：F+mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$
代入数据解得：F=10.8N．
答：（1）P点与A点的水平距离和竖直高度分别为4.8m和1.8m；
（2）小球到达圆弧最高点C时受到轨道的作用力为10.8N．

点评 本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外，求速度的问题，动能定理不失为一种好的方法．当然也可以根据机械能守恒定律求C点的速度．