Question

15．一列简谐横波沿x轴正向传播，振幅A=4cm，沿波的传播方向上相距30cm的两质点a，b，a点离波源较近，某时刻质点a，b的位移相等且为y=+2cm，振动方向相反，求：
（1）这列波的最大波长；
（2）设该时刻为计时起点t=0，请写出质点a的振动方程（已知周期为T）．

Answer 1

分析 （1）根据P、Q两质点的位移都是1cm，振幅都是2cm，简谐波的图象是正弦曲线，写出波动方程，找出PQ间的距离与波长关系的通项，再求出最长的波长．
（2）设质点a的振动方程为y_a=4cos（$\frac{2π}{T}$t+ϕ₀），当t=0时，y_a=+1cm，代入即可求解质点a的振动方程．

解答 解：（1）画出题设时刻的波形图如图所示，当a、b两质点位置如图所示时，波长最大．

根据波动方程y=Asin（$\frac{2π}{λ}$x），有：
对a质点有：y_a=4sin（$\frac{2π}{λ}$x_a）
对b质点有：y_b=4sin（$\frac{2π}{λ}$x_b）
据题：y_a=y_b=2cm
解得：x_a=$\frac{λ}{12}$；x_b=$\frac{5λ}{12}$
又 x_b-x_a=30cm                                                       
即 $\frac{5λ}{12}$-$\frac{λ}{12}$=30cm
解得最大波长为 λ=90cm                             
（2）y_a=4cos（$\frac{2π}{T}$t+ϕ₀），当t=0时，y_a=+1cm，易知此时质点a的振动方向向下，故ϕ₀=$\frac{π}{3}$
则质点a的振动方程为：y_a=4cos（$\frac{2π}{T}$t+$\frac{π}{3}$）
答：
（1）这列波的最大波长是90cm；
（2）设该时刻为计时起点t=0，质点a的振动方程为y_a=4cos（$\frac{2π}{T}$t+$\frac{π}{3}$）．

点评 本题考查运用数学知识解决物理问题的能力，关键能写出波动方程进行求解，同时要明确两个质点状态关系．