Question

9．地球半径设为R，有一载人宇宙飞船在距地面高度为$\frac{3}{4}$R的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，而地球同步卫星距地面高约为6R，地球同步卫星的周期为24h，假设宇宙飞船和某一地球同步卫星绕地球同向运动，则下列说法正确的是（　　）

• A． 飞船与同步卫星的角速度之比为1：8
• B． 飞船与同步卫星的线速度之比为4：1
• C． 从同步卫星在宇宙飞船的正上方开始计时，经过$\frac{12}{7}$h两者距离最远
• D． 从同步卫星在宇宙飞船的正上方开始计时，经过12h两者距离最近

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力公式，得到线速度、角速度与轨道半径的关系，在根据轨道半径的大小，求解线速度、角速度的关系，当两颗卫星的夹角为π时，相距最远，据此求解经过的时间．

解答 解：A、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$，解得$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，根据题意可知飞船与同步卫星的半径之比为$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{R+\frac{3}{4}R}{R+6R}=\frac{1}{4}$，则飞船与同步卫星的角速度之比为8：1，故A错误；
B、根据万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，解得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，根据题意可知飞船与同步卫星的半径之比为$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{R+\frac{3}{4}R}{R+6R}=\frac{1}{4}$，则飞船与同步卫星的线速度之比为2：1，故B错误；
C、同步卫星的角速度${ω}_{2}=\frac{2π}{{T}_{2}}=\frac{π}{12}rad/s$，则飞船的角速度${ω}_{1}=\frac{2π}{3}rad/s$，当两颗卫星的夹角为π时，相距最远，则有：t=$\frac{π}{{ω}_{1}-{ω}_{2}}$=$\frac{12}{7}h$，故C正确，D错误；
故选：C

点评 本题关键是要掌握万有引力提供向心力这个关系，要求能够根据题意选择恰当的向心力的表达式，明确当两颗卫星的夹角为π时，相距最远，难度适中．