题目内容

18．如图所示，在xoy平面内，有一个圆形区域的直径AB 与x轴重合，圆心O′的坐标为（2a，0），其半径为a，该区域内无磁场． 在y轴和直线x=3a之间的其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴上某点射入磁场．不计粒子重力．
（1）若粒子的初速度方向与y轴正向夹角为60°，且粒子不经过圆形区域就能到达B点，求粒子的初速度大小v1；
（2）若粒子的初速度方向与y轴正向夹角为60°，在磁场中运动的时间为△t=$\frac{πm}{3Bq}$，且粒子也能到达B点，求粒子的初速度大小v2；
（3）若粒子的初速度方向与y轴垂直，且粒子从O′点第一次经过x轴，求粒子的最小初速度vmin．

分析 （1）粒子不经过圆形区域就能到达B点，故粒子到达B点时速度竖直向下，圆心必在x轴正半轴上，由几何关系确定半径，然后根据牛顿第二定律确定粒子的初速度；
（2）若粒子的初速度方向与y轴正向夹角为60°，粒子到达B点的速度与x轴夹角β=30°，由几何知识确定半径，由牛顿第二定律求粒子的初速度大小v2；
（3）若粒子的初速度方向与y轴垂直，且粒子从O′点第一次经过x轴，由几何关系得到r与θ的关系式，由数学知识求得半径最小值．

解答 解：（1）粒子不经过圆形区域就能到达B点，故粒子到达B点时速度竖直向下，
圆心必在x轴正半轴上，设粒子做圆周运动的半径为r1，由几何关系得：r1sin30°=3a-r1，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：qv1B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：v1=$\frac{2qBa}{m}$；
（2）粒子在磁场中的运动周期为：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁场中的运动轨迹的圆心角为为：α=$\frac{△t}{T}×360°=60°$，
粒子到达B点的速度与x轴夹角β=30°，
设粒子做圆周运动的半径为r2，由几何关系得：
3a=2r2sin30°+2acos230°，
由牛顿第二定律得：qv2B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：v2=$\frac{3qBa}{2m}$；
（3）设粒子从C点进入圆形区域，O′C与O′A夹角为θ，
轨迹圆对应的半径为r，由几何关系得：2a=rsinθ+acosθ，
故当θ=60°时，半径最小为rm=$\sqrt{3}$a，
由牛顿第二定律得：qvmB=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{{r}_{m}}$，
解得：vm=$\frac{\sqrt{3}qBa}{m}$；
答：（1）粒子的初速度大小是$\frac{2qBa}{m}$；
（2）粒子的初速度大小是$\frac{3qBa}{2m}$；
（3）粒子的最小初速度是$\frac{\sqrt{3}qBa}{m}$；．

点评 解决本题的突破口是知道以直径为斜边的内接圆一定是直角三角形从而确定出D点的半径过A点，然后由几何关系求出圆周运动的半径从而可以顺利求解速度大小．

练习册系列答案
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