Question

9．质量为m=1kg的小物块从光滑的四分之一圆弧轨道的顶端A处无初速自由释放．C为圆弧的最低点，圆弧CD段的圆心角θ=37°，圆弧轨道半径R=4.0cm，粗糙斜面与光滑圆弧轨道在D点相切连接．设小物块经过D点时为零时刻，在t=0.02s时刻小物块经过E点，小物块与斜面间的滑动摩擦因数为μ₁=$\frac{1}{4}$．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求
（1）小物块第一次到达C点对圆弧轨道的压力；
（2）斜面上DE间的距离；
（3）物块第一次从A运动C过程中沿加速度水平分量最大值．
（4）小物块在D点的速度．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒可求得物块滑到C点时的速度，由向心力公式可求得C点对物块的支持力，由牛顿第三定律可知物块对C点轨道的压力．
（2）、（4）根据机械能守恒定律求得物块到达D点的速度，由牛顿第二定律求出物块在DE段滑行时的加速度，再由位移公式求DE间的距离．
（3）物块第一次从A运动C过程中，根据机械能守恒定律和向心力公式求出任一点支持力与半径和竖直方向夹角的关系式，由牛顿第二定律和加速度分解得到加速度水平分量表达式，再由数学知识求解．

解答 解：（1）物块第一次从A运动C过程中，根据机械能守恒定律可得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²；
解得C点时的速度为 v_C=$\sqrt{2gR}$
在C点时，物块由重力、支持力的合力提供向心力，则有 F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得，F_N=3mg=3×1×10N=30N
由牛顿第三定律可知，小物块第一次到达C点对圆弧轨道的压力大小为30N，方向竖直向下．
（2）、（4）物块第一次从A运动D过程，由机械能守恒定律得
   mgRcosθ=$\frac{1}{2}$mv_D²；
可得v_D=$\sqrt{2gRcosθ}$=$\sqrt{2×10×0.04×cos37°}$=0.8m/s
物块沿DE上滑的加速度大小为 a=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}$=g（sinθ+μcosθ）=10×（0.6+$\frac{1}{4}$×0.8）=8m/s²．
上滑到最高点的时间为 t₁=$\frac{{v}_{D}}{a}$=0.1s
所以斜面上DE间的距离为 S=v_Dt-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=0.8×0.02-$\frac{1}{2}$×8×0.02²=0.0144m
（3）设物块第一次从A运动C过程中，所在半径与水平方向的夹角为α时，物块的速度为v，所受的支持力大小为N．水平分加速度为a．
根据机械能守恒定律得 mgRsinα=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
根据牛顿第二定律得 N-mgsinα=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得 N=3mgsinα
则 a=$\frac{Ncosα}{m}$=3gsinαcosα=$\frac{3}{2}$gsin2α
当2α=90°，即α=45°时，a有最大值，且最大值为 a_max=$\frac{3}{2}$g=15m/s²．
答：
（1）小物块第一次到达C点对圆弧轨道的压力是30N；
（2）斜面上DE间的距离是0.0144m；
（3）物块第一次从A运动C过程中沿加速度水平分量最大值是15m/s²．
（4）小物块在D点的速度是0.8m/s．

点评 本题分析清楚物体运动过程是解题的前提，应用匀变速直线运动规律、动能定理与牛顿第二定律可以解题．关键要明确圆心运动向心力的来源，由物理规律列式水平分加速度的解析式，再求其最大值，这是常用的函数法，要学会运用．