Question

10．一列简谐横波在介质中沿x轴正向传播，波长不小于10cm．O和A是介质中平衡位置分别位于x=0和x=5cm处的两个质点．t=0时开始观测，此时质点O的位移为y=4cm，质点A处于波峰位置：t=$\frac{1}{3}$s时，质点O第一次回到平衡位置，t=1s时，质点A第一次回到平衡位置．求
（i）简谐波的周期、波速和波长；
（ii）质点O的位移随时间变化的关系式．

Answer 1

分析 （i）利用A点在0s时和1s时所处的位置可求得简谐波的周期，利用波速的公式v=$\frac{x}{t}$可求得波速，利用波速波长及周期之间的关系式λ=vT可求得波长；
（ii）先根据题意求出简谐波的圆频率，设出简谐振动的通式，利用0s时和1s时的O点的位移，可得知初相位，即为可知质点O的位移随时间变化的关系式．

解答 解：（i）t=0s时，A点位于波峰位置，
t=1s时，A点第一次回到平衡位置，可的：$\frac{T}{4}$=1s，解得T=4s．
当t=$\frac{1}{3}$s时，O点第一次到平衡位置
t=1s时，A第一次到达平衡位置
所以可知波从O点传到A点用时$\frac{2}{3}$s，传播距离为x=5cm
所以波速为：v=$\frac{x}{t}$=$\frac{5}{\frac{2}{3}}$=7.5cm/s=0.075m/s
波长为：λ=vT=7.5cm/s×4s=30cm=0.3m
（ii）设y=Asin（ωt+φ₀）
可得：ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{2}$rad/s
再由t=0时，y=4cm；t=$\frac{1}{3}$s时，y=0
代入得：A=8cm=0.08m
再结合t=1s和当t=$\frac{1}{3}$s时，质点的位移，可得：φ₀=$\frac{5}{6}π$
所以质点O的位移随时间变化的关系式为：y=0.08sin（$\frac{π}{2}t+\frac{5}{6}π$）或y=0.08cos（$\frac{π}{2}t$+$\frac{1}{3}π$）
答：（i）简谐波的周期为4s，波速为0.075m/s，波长为0.3m；
（ii）质点O的位移随时间变化的关系式为y=0.08sin（$\frac{π}{2}t+\frac{5}{6}π$）或y=0.08cos（$\frac{π}{2}t$+$\frac{1}{3}π$）

点评 该题对于简谐振动的考查非常新颖，首先要求学生能准确的从题干中提取出相关的信息，熟练的利用波速、波长、周期之间的关系式及周期的定义进行相关问题的解答．对于第二问的解答有一定的难度，要注意利用数学知识求解初相位，同时要注意会分别用正弦和余弦来表述振动的关系式．