题目内容

13．如图所示，MNPQ是用单位长度电阻为r0的均匀金属条制成的矩形闭合框，线框固定在倾角为θ的绝缘斜面上，MN长为L，MQ长为4L，有一磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过斜面．质量为m的金属杆ab在外力F作用下，以速度v匀速沿斜面向下滑过矩形框，滑行过程中ab始终平行于MN且与框良好接触，外力F始终沿斜面且垂直于ab．已知金属杆ab的单位长度电阻为2.1r0，不计杆与框的摩擦．重力加速度取g，将杆ab经过MN时的位移记为s=0，求：
（1）杆ab中感应电流I随位移s变化的关系式；
（2）杆ab发热功率的最小值；
（3）矩形框MNPQ上发热功率最大时ab杆的位移；
（4）杆ab在矩形框MNPQ上滑动过程中外力F的变化情况．

分析 （1）金属杆ab以速度v匀速沿斜面向下滑，切割磁感线相当于电源，其电动势和内阻均不变；均匀金属框上下两部分为两个并联的外电阻，随位移动态变化，分析并联值为先增大后减小，由闭合电路的欧姆定律可以算出感应电流．
（2）外电阻最大时感应电流最小，杆ab发热功率的最小．
（3）矩形框MNPQ上发热功率最大，即外电路功率最大；当R外=r时，外电路功率最大．
（4）因为电路总电阻先增大后减小，所以总电流先减小后增大；金属杆ab以速度v匀速沿斜面向下滑，受力平衡，考虑到重力沿斜面分力与安培力大小关系不确定，最后结论需分区间讨论．

解答 解：（1）金属杆ab以速度v匀速沿斜面向下滑，切割磁感线相当于电源，感应电动势E=BLv，内电阻r=2.1Lr0．
外电路被ab分为上下两部分，R=$\frac{{R}_{上}{R}_{下}}{{R}_{上}+{R}_{下}}$=$\frac{（L+2s）（9L-2s）}{10L}$r0
I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{\frac{（L+2s）（9L-2s）}{10L}{r}_{0}+2.1L{r}_{0}}$=$\frac{5B{L}^{2}v}{（15{L}^{2}+8sL-2{s}^{2}）{r}_{0}}$
（2）外电路电阻最大时，感应电流最小，ab发热功率最小．
因为R上+R下为常数，所以当R上=R下时R有最大值，即位移s=2L
此时R外=$\frac{{R}_{上}{R}_{下}}{{R}_{上}+{R}_{下}}$=$\frac{5L×5L}{10L}$r0=2.5Lr0，Pab=I2r=（$\frac{E}{R+r}$）2 r=$\frac{105{B}^{2}L{v}^{2}}{1058{r}_{0}}$
（3）矩形框的功率即电路的输出功率，P出=I2R=（$\frac{E}{R+r}$）2×R=$\frac{{E}^{2}}{\frac{（R-r）^{2}}{R}+4r}$
当R=r时，分母有最小值，输出功率最大．
R=r，即=$\frac{（L+2s）（9L-2s）}{10L}$r0=2.1Lr0，可解得s1=L，s2=3L
（4）电流先减小后增大，FA先减小后增大
在ab滑过框架的过程中，Rmin=$\frac{L×9L}{10L}$r0=0.9 Lr0，R总min=3Lr0，FAmax=$\frac{{B}^{2}Lv}{3{r}_{0}}$
当ab在MQ中点时，Rmax=2.5 Lr0，R总max=4.6Lr0，FAmin=$\frac{5{B}^{2}Lv}{23{r}_{0}}$
①若mgsinθ≥$\frac{{B}^{2}Lv}{3{r}_{0}}$，则外力F向上，先增大后减小；
②若mgsinθ≤$\frac{5{B}^{2}Lv}{23{r}_{0}}$，则外力F向下，先减小后增大；
③若$\frac{5{B}^{2}Lv}{23{r}_{0}}$＜mgsinθ＜$\frac{{B}^{2}Lv}{3{r}_{0}}$，则外力F先向下减小后向上增大，再先向上减小后向下增大．
答：（1）杆ab中感应电流I随位移s变化的关系式为 I=$\frac{5B{L}^{2}v}{（15{L}^{2}+8sL-2{s}^{2}）{r}_{0}}$；
（2）杆ab发热功率的最小值为 $\frac{105{B}^{2}L{v}^{2}}{1058{r}_{0}}$；
（3）矩形框MNPQ上发热功率最大时ab杆的位移s1=L或s2=3L；
（4）①若mgsinθ≥$\frac{{B}^{2}Lv}{3{r}_{0}}$，则外力F向上，先增大后减小；
②若mgsinθ≤$\frac{5{B}^{2}Lv}{23{r}_{0}}$，则外力F向下，先减小后增大；
③若$\frac{5{B}^{2}Lv}{23{r}_{0}}$＜mgsinθ＜$\frac{{B}^{2}Lv}{3{r}_{0}}$，则外力F先向下减小后向上增大，再先向上减小后向下增大．

点评 注意：金属框上下两部分为两个并联的外电阻，随位移动态变化，分析并联电阻值为先增大后减小；外电路功率最大时，应满足R外=r；重力沿斜面分力与安培力大小关系不确定，最后一问结论要分区间讨论，该部分易错．

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