Question

19．如图所示，半径R=0.5m的光滑半圆轨道竖直固定在高h=0.8m的光滑水平台上并与平台平滑连接．平台上有一用水平轻质细线栓接的物块m₁和m₂组成的装置Q，装置Q中两物块之间有一处于压缩状态的轻质小弹簧（物块与弹簧不栓接），Q处于静止状态．某时刻给装置Q一个瞬时冲量使m₁和m₂获得一个共同的初速度，同时由于扰动细线断开，待弹簧恢复原长后，m₁、m₂两物块获得方向相反的水平速度，m₁沿半圆轨道运动并恰好到达半圆轨道的最高点A，m₂沿平台运动并落在距平台边缘水平距离x=1.6m的地面上的P点．已知m₁=0.1kg，m₂=0.2kg，不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）弹簧恢复原长时物块m₁和m₂分别获得的速度大小；
（2）弹簧最初被压缩时所具有的弹性势能．

Answer 1

分析 （1）m₁沿半圆轨道运动并恰好到达半圆轨道的最高点A时，由重力提供向心力，根据向心力公式求得m₁经过A点的速度．由机械能守恒定律求m₁获得的速度大小．
m₂离开平台后做平抛运动，根据平抛运动的规律求m₂获得的速度大小．
（2）由动量守恒定律求出释放弹簧前系统的速度，再由机械能守恒求弹簧最初被压缩时所具有的弹性势能．

解答 解：（1）m₁沿半圆轨道运动并恰好到达半圆轨道的最高点A时，由重力提供向心力，则有：
m₁g=m₁$\frac{{v}_{1A}^{2}}{R}$
m₁从C到A的过程，由机械能守恒定律得：
2m₁gR+$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1A}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$
可得m₁获得的速度大小为：v₁=5m/s
m₂离开平台后做平抛运动，则有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v₂t
解得m₂获得的速度大小为：v₂=4m/s
（2）设原来系统的初速度为v₀．取向右为正方向，根据动量守恒定律得：
（m₁+m₂）v₀=-m₁v₁+m₂v₂．
根据系统的机械能守恒得：
E_p+$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₀²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²．
联立解得：E_p=2.7J
答：（1）弹簧恢复原长时物块m₁和m₂分别获得的速度大小为5m/s和4m/s；
（2）弹簧最初被压缩时所具有的弹性势能是2.7J．

点评 本题的关键是明确两个物体的运动规律，同时能结合动量守恒定律、向心力、机械能守恒定律和平抛运动的分位移公式列式求解．