Question

1．光滑的长轨道形状如图所示，底部为半圆型，半径为R，固定在竖直平面内，AB两质量相同的小环用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上，将AB两环从图示位置静止释放，A环离开底部2R，不考虑轻杆和轨道的接触，即忽略系统机械能的损失，求：
（1）A环刚进入圆轨道时所受轻杆的弹力
（2）A环到达最低点时，两球速度大小
（3）若将杆长换为2$\sqrt{2}$R，A环仍从离开轨道底部2R处由静止释放，则B环可能达到的最低位置离开轨道底部的高度以及此时A环的速度大小分别为多少？

Answer 1

分析 （1）两个环以及连杆整体自由下落，处于完全失重状态，故杆上弹力为零；
（2）A环到达最低点时，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等；根据几何关系找到B环的位置，然后根据机械能守恒定律列式求解出各自的速度；
（3）根据数学知识判断位置，由机械能守恒定律求出末速度．

解答 解：（1）对整体分析，自由落体，加速度g，以A为研究对象，A作自由落体则杆对A一定没有作用力．即F=0
故A环刚进入圆轨道时所受轻杆的弹力为零．
（2）AB都进入圆轨道后，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等，即V_A=V_B
对整体依机械能守恒定律，有：mg•2R+mg•$\frac{5}{2}R$=$\frac{1}{2}$•2mv²
解得故A环到达最低点时，两环速度大小均为：v=$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$
（3）由于杆超过了半圆直径，所以两环运动如下图

当A环到达半圆轨道最低点时，B环到达最低位置，
设此时B距离半圆轨道最底部的高度为h，根据三角关系得：
${R}^{2}+{h}^{2}=（2\sqrt{2}R）^{2}$
解得：h=$\sqrt{7}R$
由于是连体杆运动，故AB速度大小相等，设为v₁
由机械能守恒得：mg2R+mg（2R+2$\sqrt{2}$R）=mg$\sqrt{7}R$+$\frac{1}{2}$•2m${{v}_{1}}^{2}$
解得：A环的速度大小：v₁=$\sqrt{（4+2\sqrt{2}-\sqrt{7}）gR}$
答：（1）A环刚进入圆轨道时所受轻杆的弹力为0．
（2）A环到达最低点时，两球速度大小为$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$
（3）此时B距离半圆轨道最底部的高度为$\sqrt{7}R$，A环的速度大小为$\sqrt{（4+2\sqrt{2}-\sqrt{7}）gR}$．

点评 本题关键是根据几何关系多次得到环的具体位置，然后根据机械能守恒定律列方程求解即可．