Question

神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了LMCX-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成. 两星视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变,如图所示.引力常量为G,由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.

（1）可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力,设A和B的质量分别为m₁、m₂,试求m′(用m₁、m₂表示);

（2）求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；

（3）恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量m_s的2倍,它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×10⁵ m/s,运行周期T=4.7π×10⁴ s,质量m₁=6m_s,试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

(G=6.67×10^-11 N·m²/kg²,m_s=2.0×10³⁰ kg)

Answer 1

解：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r₁、r₂,由题意知,A、B做匀速圆周运动的角速度相同,设其为ω.由牛顿运动定律,有

F_A=m₁ω²r₁

F_B=m₂ω²r₂

F_A=F_B

设A、B之间的距离为r,又r=r₁+r₂,由上述各式得

r =         ①           

由万有引力定律,有

F_A=

将①代入得F_A=G

令F_A=

比较可得m′=   ②    …………… 4分   

（2）由牛顿第二定律,有    ③

又可见星A的轨道半径r₁=      ④

由②③④式解得   ⑤   …………… 4分

（3）将m₁=6 m_s代入⑤式,得

代入数据得

   ⑥   

设m₂=nm_s(n>0),将其代入⑥式,得

  ⑦

可见,的值随n的增大而增大,试令n=2,

得                       ⑧

若使⑦式成立,则n必大于2,即暗星B的质量m₂必大于2m_s,由此得出结论：暗星B有可能是黑洞.                      ……………4分