题目内容
（2011?宝坻区一模）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者的连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示，引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m'的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2．试求m′（用m1、m2表示）
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．
分析：双星系统构成的条件是双星的角速度相同，依靠它们之间的万有引力提供各自的向心力．由于两星球的加速度不同，必须采用隔离法运用牛顿定律分别对两星球研究，并通过数学变形求解．
解答：解：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，其为ω．
由牛顿运动定律，
对A：FA=m1ω2r1 对B：FB=m2ω2r2 FA=FB
设A、B之间的距离为r又r=r1+r2，由上述各式得r=
r1①
由万有引力定律，有FA=G
将①代入得FA=G
令FA=G
比较可得m′=
②
（2）根据题意，可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m'的星体对它的引力，由牛顿第二定律，有G
=m1
③
得 m′=
④
又可见星A的线速度大小v=
⑤
由④⑤得，m′=
由②⑤可得
=
答：（1）O点处星体质量为m′为
．
（2）暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式为
由牛顿运动定律，
对A：FA=m1ω2r1 对B：FB=m2ω2r2 FA=FB
设A、B之间的距离为r又r=r1+r2，由上述各式得r=
| m1+m2 |
| m2 |
由万有引力定律，有FA=G
| m1m2 |
| r2 |
将①代入得FA=G
m1
| ||
| (m1+m2)2r2 |
令FA=G
| m1m′ |
| r12 |
比较可得m′=
| ||
| (m1+m2)2 |
（2）根据题意，可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m'的星体对它的引力，由牛顿第二定律，有G
| m1m′ |
| r12 |
| v2 |
| r1 |
得 m′=
| r1v2 |
| G |
又可见星A的线速度大小v=
| 2πr1 |
| T |
由④⑤得，m′=
| v3T |
| 2πG |
由②⑤可得
| ||
| (m1+m2)2 |
| v3T |
| 2πG |
答：（1）O点处星体质量为m′为
| ||
| (m1+m2)2 |
（2）暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式为
| v3T |
| 2πG |
点评：对于天体运动问题关键要建立物理模型．双星问题与人造地球卫星的运动模型不同，两星都绕着它们之间连线上的一点为圆心做匀速圆周运动，双星、圆心始终“三点”一线．
练习册系列答案
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