Question

7．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l₀到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向．在电场左边界上A（-2l₀，-l₀）到C（-2l₀，0）区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的粒子．从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v₀沿x轴正方向射入电场．若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l₀）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图．不计粒子的重力及它们间的相互作用．
（1）求匀强电场的电场强度E；
（2）求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？
（3）若以直线x=2l₀上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l₀与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？

Answer 1

分析 （1）将带电粒子的运用沿水平和竖直方向正交分解，水平方向做匀速直线运动，竖直方向在x轴上下方都做匀变速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式列式分析；
（2）先画出运动的一般轨迹，要使粒子通过电场后能沿x轴正方向运动，其第一次到达x轴的水平分位移的2n倍等于2l₀，根据牛顿第二定律和运动学公式列式分析即可；
（3）先画出各个粒子的运动轨迹，然后根据题意确定磁场范围，最后根据洛伦兹力提供向心力求解磁感应强度．

解答 解：（1）从A点射出的粒子，由A到A′的运动时间为T，根据运动轨迹和对称性可得
x轴方向  $2{l}_{0}^{\;}={v}_{0}^{\;}T$
y轴方向 $2{l}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}（\frac{T}{2}）_{\;}^{2}×2$
得：$E=\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q{l}_{0}^{\;}}$
（2）设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次达x轴用时△t，水平位移为△x，则 
$△x={v}_{0}^{\;}△t$   
$△y=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}（2△t）_{\;}^{2}$
若满足$2{l}_{0}^{\;}=n•2△x$，则从电场射出时的速度方向也将沿x轴正方向
解之得：$△y=\frac{1}{{n}_{\;}^{2}}\frac{1}{2}\frac{qE}{m}（\frac{{l}_{0}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}）_{\;}^{2}=\frac{1}{{n}_{\;}^{2}}{l}_{0}^{\;}$
即AC间y坐标为$y=（-1）_{\;}^{n}\frac{1}{{n}_{\;}^{2}}{l}_{0}^{\;}$（n=1，2，3，…）
（3）当n=1时，粒子射出的坐标为${y}_{1}^{\;}={l}_{0}^{\;}$
当n=2时，粒子射出的坐标为${y}_{2}^{\;}=-\frac{1}{4}{l}_{0}^{\;}$
当n≥3时，沿x轴正方向射出的粒子分布在y₁到y₂之间（如图）y₁到y₂之间的距离为
L=y₁-y₂=$\frac{5}{4}{l}_{0}^{\;}$ 则磁场的最小半径为 $R=\frac{L}{2}=\frac{5{l}_{0}^{\;}}{8}$
若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图），（轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO₁QO₂为棱形）
 
由$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$ 
得：$B=\frac{8m{v}_{0}^{\;}}{5q{l}_{0}^{\;}}$
答：（1）求匀强电场的电场强度E为$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q{l}_{0}^{\;}}$；
（2）在AC间的粒子位置满足$y=（-1）_{\;}^{n}\frac{1}{{n}_{\;}^{2}}{l}_{0}^{\;}$（n=1、2、3…），通过电场后也能沿x轴正方向运动
（3）若以直线x=2l₀上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l₀与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是$\frac{5}{8}{l}_{0}^{\;}$，相应的磁感应强度B是$\frac{8m{v}_{0}^{\;}}{5q{l}_{0}^{\;}}$

点评 本题关键是将粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，然后根据牛顿运动定律和运动学公式列式分析求解；解题过程中要画出轨迹图分析，特别是第三小题，要画出准确的圆轨迹图分析才能有助与问题的解决．