Question

2．如图所示，一倾角为θ=37°的斜面上放有一足够长的木板B，B的右端放一体积可忽略不计的物块A，己知m_A=1kg，m_B=4kg，A与B的动摩擦因数μ₁=$\frac{7}{8}$，B与斜面间的动摩擦因数μ₂=$\frac{1}{40}$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，（取g=10m/s²，sin37°=0.6）求：
（1）为保持A、B静止，给B施加一个平行于斜面向上的拉力F，该拉力F的范围：
（2）若拉力F=40N，且作用时间0.9s撤去，要使A、B共速时B恰好与挡板相碰，B的右端离挡板的距离为多少；
（3）在满足（2）问前提下，若B与挡板碰后等速反弹，判断A接下来的运动中能否从B上滑离．若能，求滑离时A、B各自的速度：若不能，求A距B右端的距离．

Answer 1

分析 （1）当A、B有沿斜面向上运动的趋势和向下运动的趋势时，对A、B整体受力分析，根据力的平衡条件求出拉力F的最大值和最小值即得拉力的范围；
（2）假设AB发生相对运动，根据牛顿第二定律分别求出物块A和木板B的加速度，进而判断假设是否成立，若成立，再根据速度时间公式求出作用时间t=0.9s后，物块A的速度和木板B的速度，撤去拉力F后，物块A受力情况未发生变化，所以其加速度不变，根据牛顿第二定律求出木板B的加速度，从而得出A、B共速所用的时间，再利用x=$\frac{{v}_{0}+{v}_{t}}{2}$t求出物块A的位移和木板B的位移，木板B的位移即为B的右端离挡板的距离；
（3）因为木板B与挡板碰后等速反弹，假设A不会从B上滑离，根据牛顿第二定律求出物块A和木板B加速度，从而得出A、B共速所用的时间，再利用位移公式求出物块A的位移和木板B的位移，将二者位移之差与第（2）中的二者位移之差进行比较可以判断A能否从B上滑离，若不能，用第（2）问中的位移之差减去用这两次的位移之差减去即可求出A距B右端的距离．

解答 解：（1）当拉力F最大时，物体A、B有沿斜面向上运动的趋势，对A、B整体受力分析有：
F_max=（m_A+m_B）gsin37°+μ₂（m_A+m_B）gcos37°
=（1kg+4kg）×10m/s²×0.6+$\frac{1}{40}$×（1kg+4kg）×10m/s²×0.8
=31N；
当拉力F最小时，物体A、B有沿斜面向下运动的趋势，对A、B整体受力分析有：
F_min=（m_A+m_B）gsin37°-μ₂（m_A+m_B）gcos37°
=（1kg+4kg）×10m/s²×0.6N-$\frac{1}{40}$×（1kg+4kg）×10m/s²×0.8
=29N；
所以该拉力F的范围：29N≤F≤31N．
（2）施加力F后，假设AB发生相对运动，根据牛顿第二定律可知，
对于物块A有：μ₁m_Agcos37°-m_Agsin37°=m_Aa₁，
则木块A加速度：a₁=μ₁gcos37°-gsin37°=$\frac{7}{8}$×10m/s²×0.8-10m/s²×0.6=1m/s²，
对于木板B有：F-μ₁m_Agcos37°-μ₂（m_A+m_B）gcos37°-m_Bgsin37°=m_Ba₂，
代入数据得：40N-$\frac{7}{8}$×1kg×10m/s²×0.8-$\frac{1}{40}$×（1kg+4kg）×10m/s²×0.8-4kg×10m/s²×0.6=4kg×a₂，
解得：a₂=2m/s²，所以假设成立，
拉力F作用时间t=0.9s后，物块A的速度：v_A=a₁t=1×0.9m/s=0.9m/s，
木板B的速度：v_B=a₂t=2×0.9m/s=1.8m/s，
撤去拉力F后，物块A受力情况未发生变化，所以其加速度a₁′=a₁=1m/s²，
木板B将做减速运动，根据牛顿第二定律可知，
μ₁m_Agcos37°+μ₂（m_A+m_B）gcos37°+m_Bgsin37°=m_Ba₂′，
代入数据得：$\frac{7}{8}$×1×10×0.8N+$\frac{1}{40}$×（1+4）×10m/s²×0.8+4kg×10m/s²×0.6=4kg×a′，
解得：a₂′=8m/s²，
假设经过t₁时间A、B共速，则有：v_A+a₁′t₁=v_B-a₂′t₁，
代入数据得：0.9m/s+1m/s²×t₁=1.8m/s-8m/s²×t₁，
解得：t₁=0.1s，
A、B共速时，v_AB=1m/s，
作出A、B的v-t图象如图所示：
则1s内物块A的位移：x_A=$\frac{{v}_{AB}}{2}$（t+t₁）=$\frac{1}{2}$×（0.9+0.1）m=0.5m，
木板B的位移：x_B=$\frac{{v}_{B}}{2}$t+$\frac{{v}_{B}+{v}_{AB}}{2}$t₁=$\frac{1.8}{2}$×0.9m+$\frac{1.8+1}{2}$×0.1m=0.95m，
即木板B的右端离挡板的距离为0.95m．
（3）木板B与挡板碰后等速反弹，
即：v_B′=1m/s，v_A′=1m/s，
假设A不会从B上滑离，根据牛顿第二定律可得，
对于物块A有：μ₁m_Agcos37°+m_Agsin37°=m_Aa₃，
代入数据得：$\frac{7}{8}$×1×10×0.8N+1×10×0.6N=1×a₃，
解得：a₃=13m/s²，
对于木板B有：-μ₁m_Agcos37°-μ₂（m_A+m_B）gcos37°+m_Bgsin37°=m_Ba₄，
代入数据得：-$\frac{7}{8}$×1kg×10m/s²×0.8-$\frac{1}{40}$×（1kg+4kg）×10m/s²×0.8+4kg×10×0.6N=4×a₃，
解得：a₄=4m/s²，
假设经过t₂时间A、B共速，则有：-v_A′+a₃t₂=v_B′+a₄t₂，
代入数据得：-1m/s+13m/s²×t₂=1m/s+4m/s²×t₁，
解得：t₂=$\frac{2}{9}$s，
物块A的位移：x₁=-v_A′t₂+$\frac{1}{2}$a₃${t}_{2}^{2}$=-1m/s×$\frac{2}{9}$s+$\frac{1}{2}$×13m/s²×$\frac{2}{9}$s=$\frac{8}{81}$m，
木板B的位移：x₁=v_B′t₂+$\frac{1}{2}$a₄${t}_{2}^{2}$=1m/s×$\frac{2}{9}$s+$\frac{1}{2}$×4m/s²×$\frac{2}{9}$s=$\frac{26}{81}$m，
x₂-x₁=$\frac{2}{9}$m＜x_B-x_A=0.45m，
故A不会从B上滑离，A距B右端的距离：x₃=（0.45-$\frac{2}{9}$）m=$\frac{41}{180}$m．
答：（1）该拉力F的范围为29N≤F≤31N；
（2）B的右端离挡板的距离为0.95m；
（3）A不会从B上滑离，A距B右端的距离为$\frac{41}{180}$m．

点评 本题是牛顿运动定律的综合应用问题，按顺序进行分析受力情况和运动过程分析，熟练运用牛顿第二定律和运动学公式是正确解题的关键，过程相当复杂，有一定的难度．