Question

3．如图甲所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ=30°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B=0.5T．质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，且与轨道垂直，金属杆ab接入电路的电阻值为r．现从静止释放杆ab，测得最大速度为v_m．改变电阻箱的阻值R，得到v_m与R的关系如图乙所示．已知轨道间距为L=2m，重力加速度g取10m/s²，轨道足够长且电阻不计．

（1）当R=0时，求杆ab匀速下滑时产生感应电动势E的大小，并判断杆中的电流方向；
（2）求解金属杆的质量m和阻值r；
（3）当R=4Ω时，从静止释放ab杆，在ab杆加速运动的过程中，回路瞬时电功率每增加1W 时，合外力对杆做功多少？

Answer 1

分析 （1）ab杆匀速下滑时速度最大，当R=0时，由乙图读出最大速度，由E=BLv求出感应电动势，由右手定则判断感应电流的方向；
（2）根据E=BLv、$I=\frac{E}{R+r}$及平衡条件，推导出杆的最大速度v与R的表达式，结合图象的意义，求解杆的质量m和阻值r；
（3）当R=4Ω时，读出最大速度．由E=BLv和功率公式$P=\frac{{E}^{2}}{R+r}$得到回路中瞬时电功率的变化量，再根据动能定理求解合外力对杆做的功W．

解答 解：（1）由图可知，当R=0 时，杆最终以v=2m/s匀速运动，产生电动势 E=BLv=0.5×2×2V=2V
由右手定则判断得知，杆中电流方向从b→a
（2）设最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势 E=BLv
由闭合电路的欧姆定律：$I=\frac{E}{R+r}$
杆达到最大速度时满足 mgsinθ-BIL=0
解得：v=$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}R+\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}r$
由图象可知：斜率为$k=\frac{4-2}{2}m/（s•Ω）$=1m/（s•Ω），纵截距为v₀=2m/s，
得到：$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}r={v}_{0}$
$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}=k$
解得：m=0.2kg，r=2Ω；
（3）由题意：E=BLv，
P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$
得 $P=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，则
$△P=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}^{2}}{R+r}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}^{2}}{R+r}$
由动能定理得
W=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
联立得 $W=\frac{m（R+r）}{2{B}^{2}{L}^{2}}△P$
代入解得 W=0.6J
答：（1）当R=0时，杆a b匀速下滑过程中产生感生电动势E的大小是2V，杆中的电流方向从b→a；
（2）金属杆的质量m是0.2kg，阻值r是2Ω；
（3）当R=4Ω时，回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W是0.6J．

点评 电磁感应问题经常与电路、受力分析、功能关系等知识相结合，是高中知识的重点，该题中难点是第三问，关键是根据物理规律写出两坐标物理量之间的函数关系．