题目内容
8．
如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接．在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场．现有一个质量为m、电荷量为q的带正电小球在水平轨道上的A点由静止释放，小球运动到C点离开半圆轨道后，经界面MN上的P点进入电场（P点恰好在A点的正上方，小球可视为质点，小球运动到C点之前所带电荷量保持不变，经过C点后所带电荷量立即变为零）．已知A、B两点间的距离为2R，重力加速度为g．在上述运动过程中，求：（1）电场强度E的大小；
（2）小球在半圆轨道上运动时的最大速率；（计算结果用根号表示）．
分析 （1）对从A到C过程根据动能定理列式；对平抛运动过程根据分位移公式列式，最后联立求解即可；
（2）对从A位置到圆弧过程根据动能定理列式，运用解析法求解速度的最大值即可．
解答 解：（1）设小球过C点速度为vc，小球从A到C过程，根据动能定理，有：
qE•3R-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
小球离开C点后做平抛运动到P点：
R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
2R=vCt
解得：
E=$\frac{mg}{q}$
（2）小球运动到圆周D点时速度最大，设为v，此时OD与竖直线OB夹角设为α，小球从A运动到D过程，根据动能定理可知：
qE（2R+Rsinα）-mgR（1-cosα）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
即：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgR（sinα+cosα+1）$
根据数学知识可知，当α=45°时动能最大，由此可得：
v=$\sqrt{（2+2\sqrt{2}）gR}$
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{mg}{q}$；
（2）小球在半圆轨道上运动时的最大速率为$\sqrt{（2+2\sqrt{2}）gR}$．
点评 本题关键是明确小球的受力情况和运动情况，然后根据动能定理和平抛运动的分运动公式列式分析，不难．
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