Question

14．嫦娥载玉兔登月成功后，某同学设计让嫦娥从月球起飞返回地球，开始阶段运行的轨道简化为如图所示：先将嫦娥发射至近月圆轨道1上，然后变轨到椭圆轨道2上，最后由轨道2变轨进入圆形轨道3，A点为1、2轨道切点，B点为2、3轨道切点，设月球半径为R，3轨道半径为3R，嫦娥在近月圆轨道1上周期为T，月球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略介质阻力，则下列说法正确的是（　　）

• A． 月球的平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$
• B． 嫦娥在近月圆轨道1上的机械能大于在轨道3上的机械能
• C． 嫦娥在轨道3上的绕行速度大于在轨道1上的绕行速度
• D． 嫦娥从A点沿椭圆轨道到B点的时间为$\sqrt{2}$T

Answer 1

分析 月球表面物体的引力等于“重力”，得到月球质量$\frac{g{R}^{2}}{G}$，除以体积得到月球密度．由万有引力与所需向心力的关系可知由轨道1到轨道2进入轨道3需加速，使得万有引力等于向心力，由开普勒定律确定周期，求得时间．

解答 解：A、月球表面物体的引力等于“重力”，得到月球质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，月球的体积为V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，则其密度为$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{3g}{4πGR}$．则A正确
    B、由轨道1到轨道2要加速度，由轨道2支轨道3要加速度，则其机械能要增加，则B错误
    C、由万有引力提供向心力得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，则半径大的速度小，则C错误
　　D、因椭圆的半长轴为2R，由开普勒定律知：$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}=\frac{T{′}^{2}}{（2R）^{3}}$ 得T′=2$\sqrt{2}$T，则由A到B历时$\frac{T′}{2}$=$\sqrt{2}$T，则D正确
故选：AD

点评 解决本题的关键掌握卫星的变轨的原理，通过比较轨道半径比较运动线速度、周期等．