题目内容
3．
某一金属细导线的横截面积为S、电阻率为ρ，将此细导线弯曲成半径为r的导体圆环，细导线的直径远远小于圆环的半径r．将此导体圆环水平地固定，在导体圆环的内部存在竖直向上的匀强磁场，如图甲所示，磁感应强度的大小随时间的变化关系为B=kt（k＞0且为常量）．该变化的磁场会产生涡旋电场，该涡旋电场存在于磁场内外的广阔空间中，其电场线是在水平面内的一系列沿顺时针方向的同心圆（从上向下看），圆心与磁场区域的中心重合，如图乙所示．该涡旋电场会趋使上述金属圆环内的自由电子定向移动，形成电流．在半径为r的圆周上，涡旋电场的电场强度大小E涡处处相等，并且可以用E涡=$\frac{ε}{2πr}$计算，其中ε为由于磁场变化在半径为r的导体圆环中产生的感生电动势．涡旋电场力与电场强度的关系和静电力与电场强度的关系相同．经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子和金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞．假设电子与金属离子碰撞后其定向运动的速度立刻减为零，之后再次被涡旋电场加速，再次碰撞减速为零，…，依此类推；所有电子与金属离子碰撞的时间间隔都为τ，电子的质量为m、电荷量为-e．忽略电子运动产生的磁场、电子减速过程中的电磁辐射以及电子热运动的影响，不考虑相对论效应．
（1）根据焦耳定律求在τ时间内导体圆环内产生的焦耳热的大小；
（2）求单个电子在与金属离子碰撞过程中损失的动能；
（3）设金属细导线单位体积内的自由电子数为n，在题干中的情景和模型的基础上推导金属细导线的电阻率ρ的表达式（结果用n、e、τ、m表示）．
分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合闭合电路欧姆定律，及焦耳定律即可求解；
（2）根据涡旋电场表达式，求得电子受到电场力，再依据牛顿第二定律，与运动学公式，即可求解；
（3）先求出在τ时间内，导体中电子损失的总动能，再根据能量守恒定律，即可求解．
解答 解：（1）导体圆环内的磁通量发生变化，将产生感生电动势，根据法拉第电磁感应定律，感生电动势的大小为：
ε=$\frac{△ϕ}{△t}=\frac{△（BS）}{△t}=S\frac{△B}{△t}=π{r^2}$k
根据电阻定律，导体圆环的电阻为：R=ρ$\frac{2πr}{S}$
导体圆环内感生电流的大小为：I=$\frac{ε}{R}=\frac{krS}{2ρ}$
根据焦耳定律，在τ时间内，导体圆环内产生的焦耳热为：Q=I2Rτ
联立以上各式，解得：Q=I2Rτ=$\frac{{πSτ{k^2}{r^3}}}{2ρ}$
（2）根据题意知，由于磁场变化将在导体圆环中产生的涡旋电场，该电场的电场强度大小为：E=$\frac{ε}{2πr}=\frac{kr}{2}$
电子在该电场中受到电场力的作用，电场力的大小为：F=Ee=$\frac{ker}{2}$
电场力的方向与导线相切，即与速度方向相同，电子将会被加速，加速度大小为：a=$\frac{F}{m}=\frac{kre}{2m}$
经过时间τ，电子的速度达到最大，其值为：vm=aτ=$\frac{kreτ}{2m}$
电子此时有最大的动能，该动能即为碰撞过程中损失的动能，其值为：Ekm=$\frac{1}{2}m{v_m}^2=\frac{{{k^2}{r^2}{e^2}{τ^2}}}{8m}$
（3）从微观上看，导体中共有电子数为：N=n•2πrS
所以，在τ时间内，导体中电子损失的总动能为：Ek=NEkm
从宏观上看，在τ时间内，导体产生的焦耳热为第（1）中求得的Q，电子损失的动能表现为宏观上导体发热，根据能量守恒定律得Ek=Q
联立以上各式，解得：ρ=$\frac{2m}{{n{e^2}τ}}$
答：（1）在τ时间内导体圆环内产生的焦耳热的大小$\frac{{πSτ{k^2}{r^3}}}{2ρ}$；
（2）单个电子在与金属离子碰撞过程中损失的动能$\frac{{k}^{2}{r}^{2}{e}^{2}{τ}^{2}}{8m}$；
（3）金属细导线的电阻率ρ的表达式$\frac{2m}{{n{e^2}τ}}$．
点评 考查法拉第电磁感应定律的应用，掌握闭合电路欧姆定律与焦耳定律，及能量守恒定律的内容，注意符号之间的运算正确性，及物理模型的架构与物理规律的正确选用是解题的关键．
如图所示，将一质量为m的小球从空中O点以速度v0水平抛出，飞行一段时间后，小球经过P点时动能Ek=5mv02，不计空气阻力，则小球从O到P（ ）| A． | 经过的时间为$\frac{{3{v_0}}}{g}$ | B． | 速度增量为3v0，方向斜向下 | ||
| C． | 运动方向改变的角度为arctan$\frac{1}{3}$ | D． | 下落的高度为$\frac{5v_0^2}{g}$ |
嫦娥载玉兔登月成功后，某同学设计让嫦娥从月球起飞返回地球，开始阶段运行的轨道简化为如图所示：先将嫦娥发射至近月圆轨道1上，然后变轨到椭圆轨道2上，最后由轨道2变轨进入圆形轨道3，A点为1、2轨道切点，B点为2、3轨道切点，设月球半径为R，3轨道半径为3R，嫦娥在近月圆轨道1上周期为T，月球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略介质阻力，则下列说法正确的是（ ）| A． | 月球的平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$ | |
| B． | 嫦娥在近月圆轨道1上的机械能大于在轨道3上的机械能 | |
| C． | 嫦娥在轨道3上的绕行速度大于在轨道1上的绕行速度 | |
| D． | 嫦娥从A点沿椭圆轨道到B点的时间为$\sqrt{2}$T |
A、B是竖直墙壁，现从A墙某处以垂直于墙面的初速度v0抛出一质量为m的小球，小球下落过程中与A、B进行了多次碰撞．碰撞过程中，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向与原方向相反，下面四个选项中能正确反映下落过程中小球的水平速度vx和竖直速度vy随时间变化关系的是（ ）
| A． | 在水中a光的速度比b光的速度小 | |
| B． | 对于相同的障碍物，b光更容易发生衍射现象 | |
| C． | 如果a光是黄光，则b光可能是红光 | |
| D． | 若保持入射点A位置不变，将入射光线顺时针旋转，则从水面上方观察，b光先消失 |
| A． | 奥斯特发现了电流磁效应，法拉第发现了电磁感应现象 | |
| B． | 库仑发现了点电荷的作用规律，并通过油滴实验测定了元电荷的数值 | |
| C． | 欧姆提出了电场线和磁感线的概念 | |
| D． | 安培发现了磁场对运动电荷的作用规律，洛伦兹发现了磁场对电流的作用规律 |
