Question

13．如图所示，在倾角为θ=30°的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板．物块A通过一根轻绳跨过光滑的定滑轮与物块D相连，物块D的质量也为m，用手托住物块D，使轻绳拉直但没有作用力，从静止释放物块D，当物块D达到最大速度时，物块B恰好离开挡板C，已知同一根弹簧，若形变量相同其弹性势能也相同．求：
（1）释放物块D瞬间，轻绳的拉力T的大小；
（2）此过程物块A的位移s大小；
（3）物块D的最大速度v_m大小．

Answer 1

分析 （1）释放物块D前A处于静止状态，受力平衡，则弹簧对A的弹力等于A重力沿斜面方向的分量，释放物块D瞬间，把AD看成一个整体，根据牛顿第二定律求解加速度，对D受力分析，根据牛顿第二定律求解T；
（2）释放物块D前，对物块A根据平衡条件求出弹簧的压缩量，物块D达到最大速度时，对物块B根据平衡条件求出弹簧的伸长量，从而求出A的位移；
（3）根据（2）可知，从释放物块D到物块D达到最大速度的过程中，弹簧的弹性势能不变．对整体由机械能守恒定律求解即可．

解答 解：（1）释放物块D前A处于静止状态，受力平衡，则弹簧对A的弹力等于A重力沿斜面方向的分量，
释放物块D瞬间，把AD看成一个整体，根据牛顿第二定律得：a=$\frac{mg}{2m}=\frac{1}{2}g$，
对D受力分析，根据牛顿第二定律得：mg-T=ma，解得：T=$\frac{1}{2}mg$，
（2）释放物块D前，对物块A有：mgsin30°=kx₁，
物块D达到最大速度时，对物块B有：mgsin30°=kx₂，
解得：${x}_{1}={x}_{2}=\frac{mg}{2k}$
即从释放物块D到物块D达到最大速度的过程中，A的位移s=${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{mg}{k}$，
（3）从释放物块D到物块D达到最大速度的过程中，弹簧的弹性势能不变．
则由机械能守恒得：mg（x₁+x₂）=mg（x₁+x₂）sin30°+$2m{{v}_{m}}^{2}$
解得：${v}_{m}=g\sqrt{\frac{m}{4k}}$
答：（1）释放物块D瞬间，轻绳的拉力T的大小为$\frac{1}{2}mg$；
（2）此过程物块A的位移s大小为$\frac{mg}{k}$；
（3）物块D的最大速度v_m大小为$g\sqrt{\frac{m}{4k}}$．

点评 本题综合考查了共点力平衡、牛顿第二定律、胡克定律和机械能守恒定律，综合性较强，特别要注意弹簧压缩或伸长相同的形变量时，弹性势能是相等的，对学生的能力要求较高，需加强训练．