Question

12．为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面附近做圆周运动的周期为T，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧称量一个质量为m的砝码读数为N．已知引力常量为G．则下列计算中错误的是（　　）

• A． 该行星的质量为$\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$
• B． 该行星的半径为$\frac{4{π}^{2}N{T}^{2}}{m}$
• C． 该行星的密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． 该行星的第一宇宙速度为$\frac{NT}{2πm}$

Answer 1

分析 登陆舱在该行星表面做圆周运动，根据牛顿第二定律列式；在星球表面，用弹簧称称量一个质量为m的砝码读数为N，根据重力等于万有引力列式；联立求解出质量和半径；第一宇宙速度是星球表面轨道卫星的环绕速度．

解答 解：A、登陆舱在该行星表面做圆周运动，万有引力提供向心力，故：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，①
在星球表面，用弹簧称称量一个质量为m的砝码读数为N，故：
N=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$ ②
联立解得：M=$\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$，R=$\frac{N{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$，故A正确，B错误．
C、行星的密度：ρ=$\frac{M}{V}=\frac{\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故C正确．
D、第一宇宙速度是星球表面轨道卫星的环绕速度，故v=$\frac{2πR}{T}=\frac{2π\frac{N{T}^{2}}{4{π}^{2}m}}{T}=\frac{NT}{2πm}$，故D正确．
本题选错误的，故选：B．

点评 对于卫星问题，关键值记住两点：卫星的万有引力提供向心力；在星球表面，重力等于万有引力．