题目内容

4．如图所示，固定的凹槽水平表面光滑，其内放置U形滑板N，滑板两端为半径R=0.20m的$\frac{1}{4}$圆弧面，A和D分别是圆弧的端点，BC段表面粗糙，其余段表面光滑．小滑块P1和P2的质量均为m．滑板的质量M=4m，P1和P2与BC面的动摩擦因数分别为μ1=0.20和μ2=0.50，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．开始时滑板紧靠槽的左端，P2静止在粗糙面的B点，P1以v0=2$\sqrt{3}$m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下，与P2发生弹性碰撞后，P1处在粗糙面B点上．当P2滑到C点时，滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连，P2继续运动，到达D点时速度为零．P1与P2视为质点，取g=10m/s2．问：
（1）P2在BC段向右滑动时，滑板的加速度为多大？
（2）BC长度为多少？N、P1和P2最终静止后，P1与P2间的距离为多少？

分析 （1）由机械能守恒可求得p1与P2碰前的速度，由动量守恒和机械能守恒可求得碰后两物体的速度；由牛顿第二定律可求得p2的加速度，因p1的运动状态不确定，先假设其静止再进行验证；
（2）由机械能守恒对CD分析可得出P2滑到C点速度；对三个滑板N、P1、及P2在相碰到P2滑到C点这一过程中，由动量守恒可求得滑块及P1的速度；则对整体由功能关系可求得BC长度L；而碰后两物体均要运动，最后静止，由动力学知识可求得两物体的位移，则可求得两物体相距的距离．

解答 解：（1）P1滑到最低点速度为v1，由机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}$mv02+mgR=mv12，
代入数据解得：v1=4m/s，
P1、P2碰撞，满足动量守恒，机械能守恒定律，设碰后速度分别为v′1、v2，以向右为正方向，由动量守恒和机械能守恒可得：
mv1=mv′1+mv2，$\frac{1}{2}$mv12=$\frac{1}{2}$mv′12+$\frac{1}{2}$mv′22，
解得：v′1=0、v2=4m/s，
P2向右滑动时，假设P1保持不动，对P2有：f2=μ2mg=5m（向左）对P1、M有：f2=（m+M）a2 ，
代入数据解得：a2 =1m/s2，
此时对P1有：f1=ma2=m＜fm=μ1mg=2m，所以假设成立．
故滑块的加速度为1m/s2；
（2）P2滑到C点速度为v2′，由mgR=$\frac{1}{2}$mv′22，
代入数据解得：v′2=2m/s，
P1、P2碰撞到P2滑到C点时，设P1、M速度为v，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv2=（m+M）v+mv′2，
代入数据解得：v=0.40m/s，
对P1、P2、M为系统：f2L=$\frac{1}{2}$mv22-$\frac{1}{2}$mv′22-$\frac{1}{2}$（m+M）v2
代入数值得：L=1.12m，
滑板碰后，P1向右滑行距离：s1=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{v}^{2}}{2{μ}_{1}g}$=0.04m，
P2向左滑行距离：s2=$\frac{v{′}_{2}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{v{′}_{2}^{2}}{2{μ}_{2}g}$=0.4m，
所以P1、P2静止后距离：△S=L-S1-S2=0.68m；
答：（1）P2在BC段向右滑动时，滑板的加速度为1m/s2；
（2）BC长度为多少？N、P1和P2最终静止后，P1与P2间的距离为为0.68m．

点评 本题为动量守恒定律及能量关系结合的综合题目，难度较大；要求学生能正确分析过程，并能灵活应用功能关系；合理地选择研究对象及过程；对学生要求较高．
不过随着全国新课改的展开，动量作为了选修内容，故此类题目将在新课标的考试中不再出现．

练习册系列答案
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