Question

2．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上的P点，沿水平方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为θ，已知该星球半径为R，不考虑其他可能存在的阻力，万有引力常量为G．求该星球的密度和该星球上的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度．再根据万有引力等于重力求出星球的质量，结合密度的公式求出星球的密度．
（2）第一宇宙速度的大小等于贴近星球表面运行的速度．根据万有引力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．

解答 解：物体落在斜面上有：$tanα=\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$
所以g=$\frac{2{v}_{0}tanα}{t}$．
根据万有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得星球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2{v}_{0}{R}^{2}tanα}{Gt}$．
而V=$\frac{4}{3}π{R}^{2}$．
则密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3{v}_{0}tanα}{2πRtG}$．
根据万有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
则v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanα}{t}}$
答：该星球的密度为$\frac{3{v}_{0}tanα}{2πRtG}$，该星球上的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanα}{t}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．