Question

11．某校在水平直道举行托乒乓球跑步比赛，比赛距离为S．某同学将球置于球拍中心，从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a，当速度达到v₀时，再以v₀做匀速直线运动跑至终点．整个过程中球一直保持在球拍中心不动．在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ₀，如图所示，设球在运动中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g．
（1）求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；
（2）求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；
（3）整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v₀，而球拍的倾角比θ₀大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）在匀速运动阶段，受力平衡，根据平衡条件列式即可求解；
（2）加速阶段，设球拍对球的支持力为N′，根据牛顿第二定律即可求解；
（3）根据牛顿第二定律求出球沿球拍面下滑的加速度，当球运动的位移小于等于r时，球不从球拍上掉落，根据运动学基本公式列式即可求解．

解答 解：（1）在匀速运动阶段，有 mgtanθ₀=kv₀
得k=$\frac{mgtan{θ}_{0}}{{v}_{0}}$
（2）加速阶段，设球拍对球的支持力为N′，有
 N′sinθ-kv=ma
 N′cosθ=mg
得tanθ=$\frac{a}{g}$+$\frac{v}{{v}_{0}}$tanθ₀
（3）以速度v₀匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为F，有F=$\frac{mg}{cos{θ}_{0}}$
球拍倾角为θ₀+β时，空气阻力与重力的合力不变．
设球沿球拍面下滑的加速度大小为a′，有Fsinβ=ma′
设匀速跑阶段所用时间为t，有
 t=$\frac{s}{{v}_{0}}$-$\frac{{v}_{0}}{2a}$                                                               
球不从球拍上掉落的条件 $\frac{1}{2}$a′t²≤r                                          
得  $sinβ≤\frac{{2rcos{θ_0}}}{{g{{（\frac{s}{v_0}-\frac{v_0}{2a}）}^2}}}$．
答：
（1）空气阻力大小与球速大小的比例系数k为$\frac{mgtan{θ}_{0}}{{v}_{0}}$；
（2）在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式为tanθ=$\frac{a}{g}$+$\frac{v}{{v}_{0}}$tanθ₀；
（3）β应满足的条件为 $sinβ≤\frac{{2rcos{θ_0}}}{{g{{（\frac{s}{v_0}-\frac{v_0}{2a}）}^2}}}$．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律及运动学基本公式的应用，关键要求同学们能正确受力分析．