Question

8．如图所示，真空中有一个半径r=0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B=2×10^-3T，方向垂直于纸面向外，在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度为L₁=0.2m的匀强电场区域，电场强度E=1.5×10³N/C．在x=1.7m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏．从O点处向不同方向发射出速率相同的比荷为$\frac{q}{m}$=1×10⁹C/kg带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内．一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场．不计重力及阻力的作用．
（1）求粒子进入电场时的速度和沿y轴正方向射入的粒子在磁场中运动的时间．
（2）从O点入射的所有粒子经磁场偏转后出射的速度方向有何特点？（直接答结论，不必证明）
（3）速度方向与y轴正方向成30°角（如图中所示）射入磁场的粒子，最后打到荧光屏上，求该发光点的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据运动的半径公式和粒子运动的周期的公式可以求得粒子在磁场中运动的时间；
（2）由于轨迹圆半径等于磁场区域圆的半径，故轨迹圆的圆心、磁场区域圆的圆心、两个圆的两个交点构成菱形，结合菱形的特点进行分析即可；
（3）粒子在磁场中做的是圆周运动，进入电场粒子做的是类似平抛运动，射出电场做匀速直线运动，根据粒子的运动的状态，可以求得粒子的运动的位置．

解答 解：（1）由题意可知：粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5m，有：
Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
可得粒子进入电场时的速度：
v=$\frac{qBR}{m}$=1×10⁹×2×10^-3×0.5=1×10⁶m/s，
在磁场中运动的时间：
t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{3.14}{1×1{0}^{9}×2×1{0}^{-3}}$=7.85×10^-7s
（2）由于轨迹圆半径等于磁场区域圆的半径，故轨迹圆的圆心、磁场区域圆的圆心、两个圆的两个交点构成菱形，而菱形对边平行，故出射点与轨迹圆的圆心的连线竖直，故所有粒子均水平向右射出磁场；
（3）粒子在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场，如图所示，
在电场中的加速度大小为：a=$\frac{qE}{m}$=1.5×10³×1×10⁹=1.5×10¹²m/s²，
粒子穿出电场时有：v_y=at₂=a×$\frac{{L}_{1}}{v}$=1.5×10¹²×$\frac{0.5}{1×1{0}^{6}}$=0.75×10⁶m/s，
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{0.75×1{0}^{6}}{1×1{0}^{6}}$=0.75，
在磁场中有：y₁=1.5r=1.5×0.5=0.75m，
在电场中侧移：y₂=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×1.5×10¹²×（$\frac{0.5}{1×1{0}^{6}}$）²=0.1875m，
飞出电场后粒子做匀速直线运动，有：y₃=L₂tanα=（2-0.5-0.5）×0.75=0.75m，
得：y=y₁+y₂+y₃=0.75m+0.1875m+0.75m=1.6875m，
则该发光点的坐标（2，1.6875）．
答：（1）粒子进入电场时的速度和沿y轴正方向射入的粒子在磁场中运动的时间为7.85×10^-7s；
（2）从O点入射的所有粒子经磁场偏转后出射的速度方向均沿着+x方向；
（3）速度方向与y轴正方向成30°角（如图中所示）射入磁场的粒子，最后打到荧光屏上，该发光点的位置坐标为（2，1.6875）．

点评 电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，关键是画出轨迹，由几何知识求出半径．定圆心角，求时间．