Question

18．“嫦娥二号”卫星是在绕月极地轨道上运动的，加上月球的自转，卫星能探测到整个月球的表面．卫星CCD相机已对月球背面进行成像探测，并获取了月球背面部分区域的影像图．卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为H，绕行的周期为T_M；月球绕地公转的周期为T_E，半径为R₀．地球半径为R_E，月球半径为R_M，忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响，月球与地球质量之比为（$\frac{{T}_{E}}{{T}_{M}}$）²×（$\frac{{R}_{M}+H}{{R}_{0}}$）³．

Answer 1

分析 卫星绕月做圆周运动时，由月球的万有引力提供向心力，知道距月球表面高为H，月球半径为R_M，绕行的周期为T_M，根据由牛顿第二定律可求出月球的质量．月球绕地球公转时，由地球的万有引力提供向心力，由月球公转的周期为T_E，半径为R₀．地球半径为R_E，根据由牛顿第二定律可求出地球的质量．

解答 解：由牛顿第二定律得：F_向=ma_n=m（$\frac{2π}{T}$）²r；
万有引力定律公式为：F_引=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$；
月球绕地公转时由万有引力提供向心力，故有：
G$\frac{{M}_{月}{M}_{地}}{{R}_{0}^{2}}$=M_月（$\frac{2π}{{T}_{E}}$）²R₀…①
同理，探月卫星绕月运动时有：
G$\frac{{M}_{月}{M}_{卫}}{（{R}_{M}+H）^{2}}$=M_卫（$\frac{2π}{{T}_{M}}$）²（R_M+H）…②
由①②两式联立解得：
$\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}$=（$\frac{{T}_{E}}{{T}_{M}}$）²×（$\frac{{R}_{M}+H}{{R}_{0}}$）³
故答案为：（$\frac{{T}_{E}}{{T}_{M}}$）²×（$\frac{{R}_{M}+H}{{R}_{0}}$）³．

点评 本题是计算天体质量问题，利用万有引力与圆周运动知识的结合求解环绕天体的质量，是常用方法之一．