Question

2．如图甲所示，与水平面成θ角的两根足够长的平行绝缘导轨，间距为L，导轨间有垂直导轨平面方向、等距离间隔的匀强磁场B₁和B₂，B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B；导轨上有一质量为m的矩形金属框abcd，其总电阻为R，框的宽度ab与磁场间隔相同，框与导轨间动摩擦因数为?；开始时，金属框静止不动，重力加速度为g；

（1）若磁场以某一速度沿直导轨向上匀速运动时，金属框恰好不上滑，求金属框中电流大小；
（2）若磁场以速度v₀沿直导轨向上匀速运动，金属框也会沿直导轨向上匀速运动，为了维持金属框的匀速运动，求磁场提供的最小功率；
（3）若t=0时磁场沿直导轨向上做匀加速直线运动；金属框经一段时间也由静止开始沿直导轨向上运动，其v-t关系如图乙所示（CD段为直线，△t、v₁为已知）；求磁场的加速度大小．

Answer 1

分析 （1）依据金属框恰好不上滑，结合受力分析，及平衡条件，即可求解金属框中的电流；
（2）根据磁场提供的最小功率，结合切割感应电动势，及闭合电路欧姆定律，与平衡条件，即可求解；
（3）对金属框图乙中A点受力分析，依据平衡条件，及切割感应电动势，及闭合电路欧姆定律，再对对金属框图乙中C点，利用牛顿第二定律，及运动学公式，即可求解．

解答 解：（1）金属框恰好不上滑，由平衡条件：F_安=mgsinθ+μmgcosθ
而F_安=2BIL
解得：I=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{2BL}$
（2）由能量守恒可得，P=I²R+mgv′sinθ+μmgv′cosθ （其中v′为金属框匀速运动的速度）
金属框中电动势为：E=2BL（v-v′）    
金属框中电流为：I=$\frac{E}{R}$                    
对金属框由平衡条件：2BIL=mgsinθ+μmgcosθ
解得：P=（mgsinθ+μmgcosθ）v
（3）
对金属框图乙中A点：
由平衡条件：2BIL=mgsinθ+μmgcosθ
金属框中电动势为：E=2BLv₀（其中v₀为磁场运动的瞬时速度）
金属框中电流为：I=$\frac{E}{R}$ 
对金属框图乙中C点：
由牛顿第二定律：2BI1L-（mgsinθ+μmgcosθ）=m
金属框中电动势为：E1=2BL（vt-v1）（其中v_t为磁场运动的瞬时速度）
金属框中电流为：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
磁场匀加速运动的加速度大小等于金属框匀加速运动的加速度大小，
对磁场v_t=v0+a△t  
解得：a=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{4{B}^{2}{L}^{2}△t-mR}$
答：（1）金属框中电流大小；
（2）磁场提供的最小功率；
（3）磁场的加速度大小．

点评 由于磁场运动使得穿过线框的磁通量发生变化，线框中产生感应电流，感应电流在磁场中又受到安培力从而使线框开始沿磁场运动方向做加速运动，需要注意的是使电路产生感应电动势的速度v₂，不是线框的速度而是线框相对于磁场运动的速度即v₁-v₂，这是解决本题的关键所在；另当线框加速运动时，能通过运动分析确定磁场的加速度必须和线框的加速度相同时，线框才能做匀加速运动．
第二个问：
解法二：
由功能关系可得，磁场提供的最小功率等于磁场克服安培力做功的功率，
P=F_安v
对金属框由平衡条件：F_安=mgsinθ+μmgcosθ
解得：P=（mgsinθ+μmgcosθ）v．