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7．由于地球的自转，物体在地球上不同纬度处随地球自转所需向心力的大小不同，因此同一个物体在地球上不同纬度处重力大小也不同，在地球赤道上的物体受到的重力与其在地球两极点受到的重力大小之比约为299：300，因此我们通常忽略两者的差异，可认为两者相等．而有些星球，却不能忽略．假如某星球因为自转的原因，一物体在赤道上的重力与其在该星球两极点受到的重力大小之比为7：8，已知该星球的半径为R，求：
（1）绕该星球运动的同步卫星的轨道半径r；
（2）若已知该星球赤道上的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，则该星球的密度ρ．

分析 物体在星球两极时，万有引力等于重力，即：${F}_{万}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}={G}_{极}$，物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力G赤，有：F万=G赤+Fn，该星球的同步卫星的周期等于自转周期T，则有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，结合题目中的条件，计算绕该星球运动的同步卫星的轨道半径r．
在星球赤道上，有$\frac{7}{8}G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，解出该星球的质量，再根据密度的定义式计算星球的密度．

解答 解：（1）设物体质量为m，星球质量为M，星球的自转周期为T，物体在星球两极时，万有引力等于重力，即：${F}_{万}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}={G}_{极}$
物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力G赤，有：F万=G赤+Fn
因为${G}_{赤}=\frac{7}{8}{G}_{极}$，
得：${F}_{n}=\frac{1}{8}G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}R$
该星球的同步卫星的周期等于自转周期T，则有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
联立解得：r=2R
（2）在星球赤道上，有：$\frac{7}{8}G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
可得：$M=\frac{8g{R}^{2}}{7G}$
又因星球的体积：$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以该星球的密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{6g}{7GπR}$
答：（1）绕该星球运动的同步卫星的轨道半径为2R；
（2）若已知该星球赤道上的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，则该星球的密度为$\frac{6g}{7GπR}$．

点评 本题要知道物体在星球两极时，万有引力等于重力，物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力G赤，有关系：F万=G赤+Fn，这两个关系是解题的关键．

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