Question

5．如图甲所示，两组平行正对金属薄板AB和CD，CD的左端紧靠B板．B与C、A与D分别连接后，接上如图乙所示规律变化的电压，忽略极板正对部分之外的电场．位于A板中心P处的粒子源可以产生质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子的重力和初速度均可忽略不计．已知t=0时刻产生的粒子，恰好在t=2T₀时刻从B板中心的小孔Q处穿过，并在t=3T₀时刻从CD板的右端射出．求：

（1）AB板间的距离；
（2）C或D板的长度；
（3）t=$\frac{{T}_{0}}{2}$时刻产生的粒子到达Q点时的速度，比t=0时刻产生的粒子到达Q点时的速度大还是小？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在0～T₀时间内，A、B板间存在匀强电场，粒子做匀加速运动，由牛顿第二定律和运动学公式求出粒子运动的位移．在T₀～2T₀时间内，粒子做匀速运动，结合速度求得粒子前进的距离，从而求得AB板间的距离．
（2）在2T₀～3T₀时间内，粒子在C、D板间做类平抛运动，C或D板的长度等于水平分位移大小，由位移公式求解．
（3）分析t=$\frac{{T}_{0}}{2}$时刻产生的粒子在A、B板间的运动情况，由位移公式和速度结合求得到达Q点时的速度．

解答 解：（1）在0～T₀时间内，A、B板间存在匀强电场，粒子做匀加速运动，由牛顿第二定律得
   qE=ma  ①
而$E=\frac{U_0}{d}$ ②
位移为 ${x_1}=\frac{1}{2}aT_0^2$  ③
在T₀～2T₀时间内，粒子做匀速运动，则有  x₂=aT₀•T₀ ④
而x₁+x₂=d ⑤
整理得，AB板间的距离为  $d=\sqrt{\frac{{3q{U_0}}}{2m}}{T_0}$  ⑥
（2）粒子在C、D板间运动时，沿平行于极板方向做匀速运动，速度为 v₁=aT₀ ⑦
则C或D板的长度  L=v₁T₀ ⑧
整理得  $L=\sqrt{\frac{{2q{U_0}}}{3m}}{T_0}$ ⑨
（3）$t=\frac{T_0}{2}$时刻产生的粒子到达Q点时的速度，比t=0时刻产生的粒子到达Q点时的速度大．                                           
方法一：
由（2）知，t=0时刻产生的粒子到达Q点时的速度 v₁=aT₀ ⑩
$t=\frac{T_0}{2}$时刻产生的粒子先加速$\frac{T_0}{2}$，再匀速运动T₀，设又加速时间t到达Q，根据运动学公式得
  $\frac{1}{2}a{（\frac{T_0}{2}）^2}+a（\frac{T_0}{2}）{T_0}+a\frac{T_0}{2}•t+\frac{1}{2}a{t^2}=d$⑪
整理得 $t=\frac{{\sqrt{8}-1}}{2}{T_0}$⑫
因为t＜T₀，所以此解符合题设条件．
此时粒子的速度大小 ${v_2}=a（\frac{T_0}{2}+t）=\sqrt{2}a{T_0}$⑬
所以v₂＞v₁
方法二：
两种情况下粒子运动的v-t图象如图
t=0时刻产生的粒子，在t=2T₀时刻到达Q点时的速度v₁=aT₀，v-t图象与t轴围成的“面积”即为A、B板间距离d．        
$t=\frac{T_0}{2}$时刻产生的粒子在$t=2{T_0}+\frac{T_0}{2}$时刻的速度为aT₀，但此时间内 v-t图象与t轴围成的“面积”小于第一种情况0-2T₀时间内的“面积”，所以此时粒子还未到达Q点，仍继续加速．故到达Q点时速度一定大于aT₀．
答：
（1）AB板间的距离是$\sqrt{\frac{3q{U}_{0}}{2m}}{T}_{0}$；
（2）C或D板的长度是$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{3m}}{T}_{0}$；
（3）t=$\frac{{T}_{0}}{2}$时刻产生的粒子到达Q点时的速度比t=0时刻产生的粒子到达Q点时的速度大．

点评 本题中带电粒子在周期性电场中运动问题，分析粒子的运动情况是关键，运用运动的分解法进行研究．