题目内容
8．
如图所示，倾角为θ的斜面底端固定挡板P，质量为m的小物块A与质量不计的木板B叠放在斜面上，A位于B的最上端且与P相距L．已知A与B、B与斜面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且μ1＞tanθ＞μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A与挡板相撞没有机械能损失．将A、B同时由静止释放，求：（1）A、B释放时，物块A的加速度大小；
（2）若A与挡板不相碰，木板的最小长度l0；
（3）若木板长度为l，整个过程中木板运动的总路程．
分析 （1）A、B释放时，它们一起加速下滑．以木板与物块A为研究对象，由牛顿第二定律求物块A的加速度大小；
（2）在木板B与挡板未碰前，A和B相对静止，以相同的加速度一起向下做匀加速运动．木板B与挡板相碰后立即静止，A开始匀减速下滑．若物块A到达挡板时的速度恰好为0，A与挡板恰好不相碰，由牛顿第二定律和运动学公式结合求两者相对位移，即为木板的最小长度l0；
（3）分两种情况：
①若l≥l0，木板与挡板相撞后不反弹，物块A一直减速直到静止在木板上．
②若l＜l0，木板与挡板相撞后，物块A在木板上减速运动直至与挡板相撞．由于碰撞过程中没有机械能损失，A将以撞前速率返回，并带动木板一起随物块向上减速；当它们的速度减为零后，再重复上述过程，直至物块A停在挡板处．根据能量守恒定律求整个过程中木板运动的总路程．
解答 解：（1）释放木板与物块A，它们一起加速下滑．以木板与物块A为研究对象，设其加速度大小为a1，由牛顿第二定律有：
mgsinθ-μ2mgcosθ=ma1；
解得 a1=gsinθ-μ2gcosθ
（2）在木板B与挡板未碰前，A和B相对静止，以相同的加速度一起向下做匀加速运动．木板B与挡板相碰后立即静止，A开始匀减速下滑．若物块A到达挡板时的速度恰好为0，此时木板长度即为最小长度l0．设木板与挡板相撞瞬间速度为v，则有
v2=2（L-l0）
木板静止后，物块减速下滑时的加速度大小为a2，由牛顿第二定律有
μ1mgcosθ-mgsinθ=ma2；
解得 a2=μ1gcosθ-gsinθ
由运动学公式得 0-v2=-2a2l0；
联立以上各式可解得 l0=$\frac{sinθ-{μ}_{2}cosθ}{（{μ}_{1}-{μ}_{2}）cosθ}$L
（3）分两种情况：
①若l≥l0，木板与挡板相撞后不反弹，物块A一直减速直到静止在木板上．
故木板通过的路程 s=L-l
②若l＜l0，木板与挡板相撞后，物块A在木板上减速运动直至与挡板相撞．由于碰撞过程中没有机械能损失，A将以撞前速率返回，并带动木板一起随物块向上减速；当它们的速度减为零后，再重复上述过程，直至物块A停在挡板处．
物块与木板间由于摩擦产生的热量 Q1=μ1mgcosθ•l
木板与斜面间由于摩擦产生的热量 Q2=μ2mgcosθ•s
根据能量守恒得 mgLsinθ=Q1+Q2；
解得 s=$\frac{Lsinθ-{μ}_{1}lcosθ}{{μ}_{2}cosθ}$
答：
（1）A、B释放时，物块A的加速度大小是gsinθ-μ2gcosθ；
（2）若A与挡板不相碰，木板的最小长度l0是$\frac{sinθ-{μ}_{2}cosθ}{（{μ}_{1}-{μ}_{2}）cosθ}$L；
（3）若木板长度为l，整个过程中木板运动的总路程是L-l或$\frac{Lsinθ-{μ}_{1}lcosθ}{{μ}_{2}cosθ}$．
点评 在应用牛顿运动定律和运动学公式解决问题时，要注意运动过程的分析，此类问题，还要对整个运动进行分段处理．对于板长，往往根据能量守恒求解．
一线名师提优试卷系列答案
如图所示的电路中，电源的内电阻为r，当开关闭合，可变电阻的滑动触头向右移动时，伏特表、安培表的读数将如何变化？（ ）| A． | 电压表读数增大，电流表读数减小 | B． | 电压表读数增大，电流表读数增大 | ||
| C． | 电压表读数减小，电流表读数减小 | D． | 电压表读数减小，电流表读数增大 |
图示是荡秋千的示意图，若人直立站在踏饭上，从绳与竖直方向成角θ=60°的A点由静止开始运动，摆到最低点B时，两根绳中的总拉力是人重力的$\frac{3}{2}$倍．随后，站在B点正下面的某人推一下，使秋千能摆到绳与竖直方向成θ=60°角的C点．设人的重心到悬点O的距离为l，人的质量为m，踏板和绳的质量不计，人所受空气阻力与人的速度平方成正比．则下列判断中正确的是（ ）| A． | 人从A点运动到最低点B的过程中损失的机械能大小等于$\frac{1}{4}$mgl | |
| B． | 站在B点正下面的某人推一下做功等于$\frac{1}{2}$mgl | |
| C． | 站在B点正下面的某人推一下做功大于$\frac{1}{2}$mgl | |
| D． | 站在B点正下面的某人推一下做功小于$\frac{1}{2}$mgl |
| A． | 演示微小形变时，运用了放大法 | |
| B． | 将带电体看成点电荷，运用了理想模型法 | |
| C． | 将很短时间内的平均速度看成瞬时速度，运用了等效替代法 | |
| D． | 探究弹性势能表达式用F-l图象下梯形的面积代表功，运用了微元法 |
滑雪者为什么会在软绵绵的雪地中高速奔驰呢？其原因是白雪内有很多小孔，小孔内充满空气．当滑雪板压在雪地时会把雪内的空气逼出来，在滑雪板与雪地间形成一个暂时的“气垫”，从而大大减小雪地对滑雪板的摩擦．然而当滑雪板相对雪地速度较小时，与雪地接触时间超过某一值就会陷下去，使得它们间的摩擦力增大．假设滑雪者的速度超过4m/s时，滑雪板与雪地间的动摩擦因数就会由μ1=0.25变为μ2=0.125．一滑雪者从倾角为θ=37°的坡顶A由静止开始自由下滑，滑至坡底B，如图所示．不计空气阻力，坡长为L=26m．取g=10m/s2，sin37°=0.6．求：
如图所示，两条曲线为汽车a、b在同一条平直公路上的速度时间图象，已知在t2时刻，两车相遇，下列说法正确的是（ ）| A． | a车速度先减小后增大，b车速度先增大后减小 | |
| B． | a车加速度先减小后增大，b车加速度先减小后增大 | |
| C． | t1时刻a车在前，b车在后 | |
| D． | t1～t2汽车a、b的位移相同 |