Question

20．如图所示，竖直光滑半圆细管的半径r=0.4m，与水平光滑轨道AB在B点平滑连接，半径OC与竖直半径OB的夹角为60°，质量m=0.1kg小球（球的直径略小于细管半径），被弹簧枪水平发射后，沿水平轨道向左滑行，到达C点时速度v_C=4m/s通过最高点后落于水平地面上，g取10m/s2．求：
（1）弹簧枪发射小物体前，弹簧的弹性势能；
（2）小球落地点到B点的距离；
（3）弹簧枪每次释放的弹性势能相同，调节半圆细管的半径，当细管半径等于多少时，小球落地点到B点的距离最大并计算最大值．

Answer 1

分析 （1）对运动到C的过程应用动能定理求解；
（2）对C到最高点运动过程应用机械能守恒求得在最高点的速度，然后根据平抛运动规律求得水平距离；
（3）对运动到最高点的过程应用动能定理求得在最高点的表达式，然后由平抛运动规律求得水平位移表达式，进而求得最大值．

解答 解：（1）小球在运动过程只有重力、弹簧弹力做功，故对小球运动到C的过程应用动能定理可得：${E}_{p}-mgr（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0$；
所以，弹簧枪发射小物体前，弹簧的弹性势能${E}_{p}=mgr（1-cosθ）+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=1J$；
（2）小球从C到最高点的过程作用重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mgr（1+cosθ）+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以，小球在最高点的速度$v=\sqrt{{{v}_{C}}^{2}-2gr（1+cosθ）}=2m/s$；
小球从最高点做平抛运动到水平地面上，故有$2r=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，小球落地点到B点的距离$x=vt=2v\sqrt{\frac{r}{g}}=0.8m$；
（3）小球从静止到最高点的运动过程作用重力、支持力做功，由动能定理可得：${E}_{p}-2mgr′=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$；
小球从最高点做平抛运动落到水平地面上，故有：$2r′=\frac{1}{2}g{t′}^{2}$，
小球落地点到B点的距离$x′=v′t′=\sqrt{\frac{2{E}_{p}}{m}-4gr′}•\sqrt{\frac{4r′}{g}}$=$2\sqrt{\frac{2}{gm}（{E}_{p}r′-2mgr{′}^{2}）}$=$2\sqrt{\frac{2}{mg}[-（\sqrt{2mg}r′-\frac{{E}_{p}}{2\sqrt{2mg}}）^{2}+\frac{{{E}_{p}}^{2}}{8mg}]}$；
所以，当细管半径$r′=\frac{{E}_{p}}{4mg}$=$\frac{1}{4}m$时，小球落地点到B点的距离最大，最大值$x{′}_{max}=\frac{{E}_{p}}{mg}$=1m；
答：（1）弹簧枪发射小物体前，弹簧的弹性势能为1J；
（2）小球落地点到B点的距离为0.8m；
（3）弹簧枪每次释放的弹性势能相同，调节半圆细管的半径，当细管半径等于$\frac{1}{4}m$时，小球落地点到B点的距离最大且最大值为1m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．