Question

19．如图所示，一轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与放在光滑水平面上的长木板左端接触，轻弹簧处于原长，长木板的质量为M，一物块以初速度v₀从长木板的右端向左滑上长木板，在长木板向左运动的过程中，物块一直相对于木板向左滑动，物块的质量为m，物块与长木板间的动摩擦因数为μ，轻弹簧的劲度系数为k；当木板速度达到最大时，物块的速度为v，当弹簧的压缩量达到最大时，物块刚好滑到长木板的左端，且相对于木板的速度刚好为零，已知长木板的长度为L，求：

（1）物块滑上木板的一瞬间，木板的加速度的大小；
（2）木板速度达到最大时，物块距木板右端的距离；
（3）弹簧的最大弹性势能．

Answer 1

分析 （1）物块在长木板滑动时，长木板受到的合外力等于滑块对长木板的摩擦力，由牛顿第二定律求出长木板的加速度；
（2）木板速度达到最大时，物块的速度为v，对木块，根据牛顿第二定律得到加速度，根据速度位移公式列式求解木块的位移；木板受力平衡时速度最大，根据胡克定律求解位移；最后结合几何关系得到物块距木板右端的距离；
（3）对运动全程，根据功能关系列式求解弹簧的最大弹性势能．

解答 解：（1）物块滑上长木板时，长木板受到的合外力等于滑块对长木板的摩擦力，由牛顿第二定律得：
μmg=Ma
解得，长木板的加速度 a=$\frac{μMg}{m}$；
（2）物块滑上长木板时，木块的加速度：a′=-μg；
对木块，根据速度位移公式，有：${v}^{2}-{v}_{0}^{2}=2a′{x}_{1}$，
解得：x₁=$\frac{{v_0^2-{v^2}}}{2μg}$，
速度最大时，木板平衡，故：kx₂=μmg
解得：${x_2}=\frac{μmg}{k}$
故物块距木板右端的距离：△x=x₁-x₂=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{2μg}$-$\frac{μmg}{k}$；
（3）对运动全程，根据功能关系，有：
当弹簧的压缩量达到最大时，木板的速度为零，木块的速度也为零，根据能量守恒定律得：$\frac{1}{2}mv_0^2=μmg•L-{E_p}$，
解得：E_p=$μmg•L-\frac{1}{2}mv_0^2$；
答：（1）物块滑上木板的一瞬间，木板的加速度的大小为$\frac{μMg}{m}$；
（2）木板速度达到最大时，物块距木板右端的距离为$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{2μg}$-$\frac{μmg}{k}$；
（3）弹簧的最大弹性势能为$μmg•L-\frac{1}{2}mv_0^2$．

点评 本题关键明确系统的运动规律，抓住弹簧的压缩量达到最大时，木板和木块的速度均为零，运用牛顿第二定律、能量守恒定律和动能定理列式研究．