Question

6．在2007年10月24日，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射成功，使“嫦娥奔月”这一古老的神话变成了现实．嫦娥一号发射后先绕地球做圆周运动，经多次变轨，最终进入距月球表面h=200公里的圆形工作轨道，开始进行科学探测活动．设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

• A． 嫦娥一号绕月球运行的周期为2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• B． 由题目条件可知月球的平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$
• C． 嫦娥一号在工作轨道上的绕行速度为$\sqrt{g（{R+h}）}$
• D． 在嫦娥一号的工作轨道处的重力加速度为（$\frac{R+h}{R}$）²g

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，推导出线速度和角速度及周期的公式，得出选项．

解答 解：AC、根据万有引力提供向心力，即：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
嫦娥一号的轨道半径为r=R+h，结合黄金代换公式：GM=gR²，代入线速度和角速度及周期公式得：
T=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$，v=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$，故A、C错误；
B、由黄金代换公式得中心天体的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，月球的体积V=$\frac{4}{3}$πR³，则月球的密度ρ=$\frac{3g}{4πGR}$，故B正确；
D、月球表面万有引力等于重力，则$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=mg′，得：g′=（$\frac{R}{R+H}$）²g，故D错误；
故选：B．

点评 本题关键明确卫星做匀速圆周运动时万有引力等于向心力，以及星球表面重力等于万有引力列两个方程求解．