Question

13．小明站在水平地面上，手握不可伸长的细绳一端，细绳的另一端系有质量为m的小球．甩动手腕，使球在竖直平面内绕O以半径L做圆周运动．已知握绳的手离地面的高度为$\frac{5}{3}$L，细绳的拉力达到9mg时就会断裂．逐渐增大球的速度，当球某次运动到最低点时绳断裂，忽略手的运动半径和空气阻力，求：
（1）绳断裂时小球的速度大小v₁和小球落地时的速度v₂．
（2）小球落地点与O点的水平距离．
（3）控制手离地面的高度不变，减小绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断裂，要使球飞出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离是多少？

Answer 1

分析 （1）绳断裂时细绳的拉力达到最大值，根据在最低点，合力提供向心力，运用牛顿第二定律求出v₁．
绳断后，小球做平抛运动，根据平抛运动的高度求出时间，根据速度的合成求出小球落地时的速度v₂．
（2）由平抛运动的规律求解小球落地点与O点的水平距离．
（3）根据最大拉力，通过牛顿第二定律求出绳断后的速度与绳长的关系，根据平抛运动求出平抛运动水平位移的表达式，通过数学方法二次函数求极值，求出l为多少时，x最大．

解答 解：（1）由圆周运动向心力公式，有：
  T_m-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$
据此T_m=9mg
解得 v₁=2$\sqrt{2gL}$
根据机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+mg（$\frac{5}{3}$L-L）
解得 v₂=$\sqrt{\frac{28gL}{3}}$
（2）绳断后球做平抛运动，则有
  $\frac{5}{3}$L-L=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平位移 x=v₁t
解得 x=$\sqrt{\frac{32}{3}}$L
（3）设绳长为r，绳断时球的速度为v．
有：T_m-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$．
绳断后球做平抛运动，竖直位移为$\frac{5}{3}$L-r，水平位移为x，时间为t．
有：$\frac{5}{3}$L-r=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=vt．
得x=4 $\sqrt{\frac{5}{3}Lr-{r}^{2}}$
当r=$\frac{5}{6}$L时，x有极大值，x_max=$\frac{10}{3}$L
答：
（1）绳断裂时小球的速度大小v₁为2$\sqrt{2gL}$，小球落地时的速度v₂为$\sqrt{\frac{28gL}{3}}$．
（2）小球落地点与O点的水平距离是$\sqrt{\frac{32}{3}}$L．
（3）若绳仍在球运动到最低点时断裂，要使球飞出的水平距离最大，绳长应为$\frac{5}{6}$L．最大水平距离是$\frac{10}{3}$L．

点评 本题综合了平抛运动和圆周运动两个运动，关键知道平抛运动在竖直方向和水平方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源．