Question

15．如图所示，固定在竖直平面内倾角为θ=37°、左端高度h₁=0.9m的直轨道AB，与倾角相同的足够长的直轨道BC顺滑连接（在B处有一小段光滑圆弧，小物块经过B点前后的速度大小不变）．现将一小物块（可看作质点）以初速度v₀=2m/s沿倾斜轨道AB滑下，并滑上轨道BC，所能达到的最大高度h₂．小物块与两倾斜直轨道间的动摩擦因数均为μ=0.25，不计空气阻力．（sin37°=0.6，cos37°=0.8），求
（1）物块从A点沿AB轨道滑到B点时的速度v_B；
（2）滑上轨道BC，所能达到的最大高度是h₂；
（3）物块以初速度v₀从A点下滑，经时间t=1.5s运动到BC轨道上的P点（P点未标出），求PB间的距离．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出物块在A到B的加速度大小，结合速度位移公式求出物块滑到B点的速度．
（2）根据牛顿第二定律求出在BC段上滑的加速度大小，结合速度位移公式求出所能达到的最大高度．
（3）根据运动学公式求出A到B和B到达最高点的时间，从而确定出物块在BC段返回，结合牛顿第二定律和运动学公式求出返回的距离，从而得出PB间的距离．

解答 解：（1）设物块运动到B点的速度为v_B，则从A到B：mgsinθ-μmgcosθ=ma₁，
解得：${a}_{1}=4m/{s}^{2}$
${{v}_{B}}^{2}-{{v}_{0}}^{2}=2{a}_{1}\frac{{h}_{1}}{sinθ}$，
代入数据解得：v_B=4m/s．
（2）从B到最高点：mgsinθ+μmgcosθ=ma₂，
代入数据解得：${a}_{2}=8m/{s}^{2}$，
根据${{v}_{B}}^{2}=2{a}_{2}\frac{{h}_{2}}{sinθ}$，
代入数据解得：h₂=0.6m．
（3）从A到B的时间为：${t}_{1}=\frac{{v}_{B}-{v}_{0}}{{a}_{1}}=\frac{4-2}{4}s=0.5s$，
从B到最高点的时间为：${t}_{2}=\frac{{v}_{B}}{{a}_{2}}=\frac{4}{8}s=0.5s$，
从B到最高点的距离为：${x}_{1}=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{16}{2×8}m=1m$，
物体从A开始运动到BC轨道上最高点的总时间为：
t=t₁+t₂=1s＜1.5s，
可知物体滑上轨道BC达到最大高度后返回P点，从最高点到返回P点的时间为：
t₃=1.5-1s=0.5s，
设在返回过程中，加速度为a₃，
则有：mgsinθ-μmgcosθ=ma₃，
代入数据解得：${a}_{3}=4m/{s}^{2}$，
返回的距离为：${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{3}}^{2}=\frac{1}{2}×4×0．{5}^{2}=0.5m$，
则PB间的距离为：x_PB=x₁-x₂=1-0.5m=0.5m．
答：（1）物块从A点沿AB轨道滑到B点时的速度为4m/s；
（2）滑上轨道BC，所能达到的最大高度是0.6m；
（3）PB间的距离为0.5m．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，关键理清物块在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．