Question

7．在竖直面内建立直角坐标系，曲线y=$\frac{{x}^{2}}{20}$位于第一象限的部分如图，在曲线上不同点以初速度v₀向x轴负方向水平抛出质量为m，带电量为+q的小球，小球下落过程中都会通过坐标原点，之后进入第三象限的匀强电场和匀强磁场区域，磁感应强度为B=$\sqrt{\frac{π}{10}}$T，方向垂直纸面向里，小球恰好做匀速圆周运动，并在做圆周运动的过程中都能打到y轴负半轴上（已知重力加速度为g=10m/s²、$\frac{q}{m}$=10²C/kg）．求：
（1）第三象限的电场强度大小及方向；
（2）沿水平方向抛出的初速度v₀；
（3）为使所有的小球都打到y轴负半轴，所加磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）小球在第三象限做匀速圆周运动，说明受到的合外力提供向心加速度，即洛伦兹力提供向心加速度，由此即可得出电场力与重力大小相等方向相反；
（2）小球在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出小球的速度；
（3）分析小球在电场中运动的可能的情况，结合矢量的分解的方法，求出粒子进入磁场时的速度方向与初速度、末速度的关系，得出半径与偏转距离的关系，从而得出磁场的长度和宽度，即可求出磁场区域的最小面积．

解答 解：（1）小球做匀速圆周运动，重力与电场力合力为零，即mg=qE，
解得：E=$\frac{mg}{q}$=$\frac{10}{1{0}^{2}}$=0.1N/C，方向：竖直向上；
（2）小球在电场中做类平抛运动，
水平方向：x=v₀t，
竖直方向：y=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{g}{2{v}_{0}^{2}}$x²，
由题意可知：y=$\frac{{x}^{2}}{20}$，
解得：v₀=10m/s；
（3）设小球进入第三象限时的速度为v，与x轴负方向夹角为α，则：v₀=vcosα，
小球在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
小球打在y轴的点与原点的距离：H=2rcosα=$\frac{2mv}{qB}$，
所有小球均从y轴负半轴上同一点进入第四象限，
最小磁场区域为一半径为R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$的半圆，
磁场面积：S=$\frac{π{R}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$π$（\frac{m{v}_{0}}{qB}）^{2}$，
解得，磁场最小面积：S=0.5m²；
答：（1）第三象限的电场强度大小为：0.1N/C，方向：竖直向上；
（2）沿水平方向抛出的初速度v₀为10m/s；
（3）为使所有的小球都打到y轴负半轴，所加磁场区域的最小面积为0.5m²．

点评 该题考查带电粒子在磁场中的运动，粒子的入射点不同，则进入磁场的方向与大小都不同，解答的关键就是要通过分析，得出所有的点都从同一点射出，才能顺利找出磁场的最小区域的边界．