Question

3．如图所示，某货场需要将质量为m的货物（可视为质点）从高处运送至地面，现利用固定于地面的倾斜轨道传送货物，使货物由轨道顶端无初速度滑下，轨道与水平面成θ=37°角．地面上紧靠轨道依次排放两块完全相同木板A，B，长度均为l=2m，厚度不计，质量均为m，木板上表面与轨道末端平滑连接．货物与倾斜轨道间动摩察因素为μ₀=0.125，货物与木板间动摩察因数为μ₁，木板与地面间动摩察因素μ₂=0.2．
（1）若货物从离地面高h₀=1.5m处由静止滑下，求货物到达轨道末端时的速度v₀．
（2）若货物划上木板A时，木板不动，而划上木板B时，木板B开始滑动，求μ₁应满足的条件．
（3）若μ₁=0.5，为使货物恰能到达B的最右端，货物由静止下滑的高度h应为多少？

Answer 1

分析 （1）货物下滑时根据牛顿第二定律求出下滑时的加速度，再根据速度位移关系求出到达末端时的速度；
（2）根据木板动与不动的条件求解货物与木板间的动摩擦因数所满足的条件；
（3）根据（2）中条件求解μ₁=0.5时货物在A、B上运动情况由运动学公式求得货物静止时下滑的高度h．

解答 解：（1）如图对斜面上的物体受力分析有：

根据牛顿第二定律有：
mgsin37°-f=ma₀
N-mgcos37°=0
滑动摩擦力f=μ₀N
由以上三式可得货物下滑的加速度
${a}_{0}=\frac{mgsin37°-{μ}_{0}mgcos37°}{m}$=gsin37°-μ₀gcos37°=10×0.6-0.125×10×0.8m/s²=5m/s²
物体做初速度为零的匀加速运动，根据运动学公式知，物体到达斜面底端的速度${v}_{0}=\sqrt{2{a}_{0}\frac{{h}_{0}}{sin37°}}=\sqrt{2×5×\frac{1.5}{0.6}}m/s=5m/s$
（2）若滑上木板A时，木板不动，由受力分析可得：
μ₁mg≤μ₂（m+2m）g     ①
若滑上木板B时，木板开始滑动，由受力分析得：
μ₁mg＞μ₂（m+m）g       ②
联立①②代入数据可解得0.4＜μ₁≤0.6
（3）由（2）知货物滑上A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动．货物下滑高度记为h₂，到达斜道末端时速度记为v₂，${v}_{2}^{2}=2{a}_{0}\frac{{h}_{2}}{sin37°}$
货物滑上A时做匀减速运动，加速度大小a₁=gμ₁=5m/s²
货物离开A时速度记为v₃，${v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}=-2{a}_{1}l$
货物滑上B时，自身加速度大小a₂=gμ₁=5m/s²，B的加速度大小a₃=gμ₁-2gμ₂=1m/s²
由题意，货物到达B最右端时两者恰好具有共同速度，记为v₄
货物做匀减速运动：v₄=v₃-a₂t，${v}_{4}^{2}-{v}_{3}^{2}=-2{a}_{2}{l}_{货}$，
B做匀加速运动：v₄=a₃t，${v}_{4}^{2}=2{a}_{3}{l}_{B}$
位移关系满足：l_B+l=l_货
代入数据解得：h₂=2.64m
答：（1）若货物从离地面高h₀=1.5m处由静止滑下，货物到达轨道末端时的速度v₀为5m/s；
（2）若货物划上木板A时，木板不动，而划上木板B时，木板B开始滑动，μ₁应满足0.4＜μ₁≤0.6；
（3）若μ₁=0.5，为使货物恰能到达B的最右端，货物由静止下滑的高度h应为2.64m．

点评 本题考查了牛顿运动定律的应用，特别需要注意的是货物在水平面上运动时木板的运动状态，由于是两块木板，所以货物运到到不同的地方时木板的受力不一样．