Question

20．如图所示，光滑的长直金属杆上套两个金属环与一个完整正弦图象的金属导线ab连接，杆电阻不计，导线电阻为R，ab间距离为2L，导线组成的正弦图形顶部或底部到杆距离都是d，在导线和杆平面内有一有界匀强磁场区域，磁场的宽度为L，磁感强度为B，现在外力F作用下导线沿杆以恒定的速度v向右运动，t=0导线从时刻O点进入磁场，直到全部穿过过程中，外力F所做功为（　　）

• A． $\frac{{{B^2}{L^2}{v^2}}}{R}$
• B． $\frac{{2{B^2}{d^2}Lv}}{R}$
• C． $\frac{{3{B^2}{d^2}Lv}}{R}$
• D． $\frac{{3{B^2}{d^2}{v^2}}}{R}$

Answer 1

分析 金属导线向右一共移动了3L，把全过程分为三个阶段，因导线切割磁力线的有效长度是随正弦规律变化的，所以产生的电流也是按正弦规律变化的正弦交流电，分别求出在这三段中的有效电动势，结合运动时间可求出每段运动过程上产生的内能，外力F所做的功全部转化为了内能．

解答 解：金属导线在磁场中运动时，产生的电动势为：e=Bvy，y为导线切割磁力线的有效长度．
在导线运动的过程中，y随时间的变化为：
y=$dsinπ\frac{L}{v}$=$dsinπ\frac{vt}{L}$=dsinωt，$\frac{πv}{L}$=ω
则导线从开始向右运动到L的过程中（如图）有：${e}_{1}=Bvy=Bvdsinπ\frac{vt}{L}$=Bvdsinωt
则此过程中电动势的最大值为：E_1max=Bvd
此过程中电动势的有效值为：${E}_{1}=\frac{E1max}{\sqrt{2}}$
导线从L向右运动到2L的过程中（如图）有：${e}_{2}=2Bvy=2Bvdsinπ\frac{vt}{L}$=2Bvdsinωt
即：E_2max=2Bvd
所以：${E}_{2}=2{E}_{1}=\frac{2Bvd}{\sqrt{2}}$
导线从2L向右运动到3L的过程与导线从开始向右运动L的过程相同（如图），则在这三段中运动的时间各为t，$t=\frac{L}{v}$
在整个过程中产生的内能为：$Q=\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{2}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}$=$\frac{2×\frac{{B}^{2}{v}^{2}{d}^{2}}{2}×\frac{L}{v}}{R}+\frac{\frac{4{B}^{2}{v}^{2}{d}^{2}}{2}×\frac{L}{v}}{R}$=$\frac{3{B}^{2}{d}^{2}Lv}{R}$
因导线在拉力F的作用下匀速运动，所以拉力F所做的功全部转化为内能，即：W=Q=$\frac{3{B}^{2}{d}^{2}Lv}{R}$
故选：C

点评 该题是以另外一种形式考察了交变电流的做功问题，解决此题的关键是把整个过程进行合理分段，分别求出各段的电动势的有效值，即可求出全过程的电功了．难度较大．