Question

8．如图所示，竖直平面内有一四分之一光滑圆弧轨道固定在水平桌面AB上，轨道半径R=1.8m，末端与桌面相切于A点，倾角θ=37°的斜面BC紧靠桌面边缘固定，从圆弧轨道最高点由静止释放一个质量m=1kg的可视为质点的滑块a，当a运动到B点时，与a质量相同的另一可视为质点的滑块b从斜面底端C点以初速度v₀=5m/s沿斜面向上运动，b运动到斜面上的P点时，a恰好平抛至该点，已知AB的长度x=4m，a与AB间的动摩擦因数μ₁=0.25，b与BC间的动摩擦因数μ₂=0.5，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求
（1）滑块a到达B点时的速度大小
（2）斜面上P、C间的距离．

Answer 1

分析 （1）对滑块a从下滑到B点的过程运用动能定理，求出滑块a到达B点的速度大小．
（2）根据平抛运动的规律求出滑块a的运动时间，根据牛顿第二定律求出滑块b上滑和下滑的加速度大小，结合运动学公式求出斜面上P、C间的距离．

解答 解：（1）滑块a从光滑圆弧轨道滑下到达B点的过程中，根据动能定理有：
$mgR-{μ}_{1}mgx=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入数据解得v=4m/s．
（2）滑块a到达B点后做平抛运动，根据平抛运动的规律有：
x′=vt，
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
$tanθ=\frac{y}{x}$，
代入数据解得t=0.6s，
滑块b从斜面底端上滑时，根据牛顿第二定律有：
mgsinθ+μ₂mgcosθ=ma₁，
代入数据解得${a}_{1}=10m/{s}^{2}$，
向上运动的时间${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}=\frac{5}{10}s=0.5s$＜0.6s，
然后接着下滑，根据牛顿第二定律有：mgsinθ-μ₂mgcosθ=ma₂，
代入数据得，${a}_{2}=2m/{s}^{2}$，
可得${x}_{PC}=\frac{{v}_{0}{t}_{1}}{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}（t-{t}_{1}）^{2}$，
代入数据解得x_PC=1.24m．
答：（1）滑块a到达B点时的速度大小为4m/s；
（2）斜面上P、C间的距离为1.24m．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，知道a平抛运动的时间和b运动的时间相等，结合运动学公式灵活求解，注意滑块b上滑和下滑的加速度大小不等．