Question

3．中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A．计时表一只；B．弹簧测力计一把；C．已知质量为m的物体一个．在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t．飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量的物理量可以推导出月球的半径和质量．（已知引力常量为G，忽略月球的自转的影响）
（1）说明机器人是如何进行第二次测量的？用相应的符号表示第二次测量的物理量，并写出相关的物的物理关系式，
（2）试用上述两次测量的物理量和已知物理量推导月球半径和质量的表达式．

Answer 1

分析 （1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）静止时读出弹簧秤的读数F，求出月球表面重力加速度．不考虑月球的自转影响，根据重力近似等于月球的万有引力，列方程得出月球表面重力加速度与月球半径的关系式，再飞船在绕月球运行时，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力列方程，得到月球质量与月球半径、飞船周期的关系式，再联立求解月球半径和质量的表达式．

解答 解：（1）机器人在月球上用弹簧测力计竖直悬挂质量为m的物体，静止时读出弹簧测力计的读数为F，设月球表面重力加速度为g_月，得
mg_月=F．
（2）设月球的质量为M，半径为R，在月球上（忽略月球的自转影响），可知
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$  ①
又mg_月=F，
飞船靠近月球表面绕月球运 行时，近似认为其轨道半径为月球的半径R，有$G\frac{Mm}{R^2}=m{（{\frac{2π}{T}}）^2}R$   ②
又T=$\frac{t}{N}$ ③
解得月球的半径．R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}=\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}Nm}$
月球的质量$M=\frac{F^3t^4}{16π^4N^4Gm^3}$．
答：（1）机器人进行第二次测量的内容是测量物体在月球上所受的重力．
（2）月球的半径为$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}Nm}$．月球的质量为$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}{N}^{4}G{m}^{3}}$．

点评 登月飞船绕月球旋转与人造卫星绕地球运行相似，要建立物理模型：飞船绕月做匀速圆周运动，由月球的万有引力提供飞船的向心力．