Question

8．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔OO′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T₀，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：
（1）磁感应强度B₀的大小；
（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v₀的可能值．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，结合圆周运动的周期公式，可求出磁感应强度．
（2）由几何关系可确定运动半径与已知长度的关系，由正离子在两板运动n个周期，从而即可求解．

解答 解：（1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力：
B₀qv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
做匀速圆周运动的周期：
T₀=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$
联立两式得磁感应强度：
B₀=$\frac{2πm}{q{T}_{0}}$
（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v₀的方向应如图所示，
两板之间正离子只运动一个周期，即T₀，则R=$\frac{d}{4}$
两板之间正离子运动n个周期，即nT₀，则R=$\frac{d}{4n}$，
联立上式可得，正离子的速度v₀=$\frac{{B}_{0}qR}{m}$=$\frac{πd}{2n{T}_{0}}$ （n=1，2，3…）
答：（1 ）磁感应强度B₀的大小为$\frac{2πm}{q{T}_{0}}$；
（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v₀的可能值为$\frac{πd}{2n{T}_{0}}$ （n=1，2，3…）．

点评 考查离子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，掌握牛顿第二定律的应用，理解几何关系的运用，同时注意运动的周期性．