Question

9．半径为R，质量为M，表面光滑的半球静置于光滑水平面上，半球顶端有一质量为m的小滑块从静止开始下滑，如图所示，在θ位置处脱离半球，已知cosθ=0.7，求$\frac{M}{m}$．

Answer 1

分析 设滑块相对于半球的速度，则可求得滑块对地速度，水平方向根据动量守恒定律列式，同时根据机械能守恒定律列式，联立可解得质量之比．

解答 解：设小滑块离开半球时相对半球的速度为v'，方向沿半球面的切线方向，
此时半球相对地的速度为v，由于小滑块刚脱离半球面时对半球的压力为零；∽
对m，以半球为参考系，则有：
mgcosα=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$
系统水平方向动量守恒，则有：
m（v'cosα-v）-Mv=0
系统机械能守恒；则有：
mgR（1-cosα）=$\frac{1}{2}$m[（v'cosα-v）²+（v'sinα）²]+$\frac{1}{2}$Mv²
联立解得：$\frac{M}{m}$=$\frac{co{s}^{2}α-3cosα+2}{3cosα-2}$=2.43；
答：两物体的质量之比为：2.43．

点评 本题关键要明确参考系的转换，在应用动量守恒定律时要注意对地研究；而在研究滑块时，要注意相对于半球进行研究．