Question

3．如图所示，两条平行的水平金属导轨相距L=1m，金属导轨的倾斜部分与水平方向的夹角为37°，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中．金属棒PQ的质量为m=0.2kg，MN，PQ电阻分别为R₁=1Ω和R₂=2Ω．MN置于粗糙水平导轨上，PQ置于光滑的倾斜导轨上，两根金属棒均与导轨垂直且接触良好．MN棒在水平外力F₁的作用下以v₁=3m/s的速度向右做匀速直线运动，PQ则在平行于斜面方向的力F₂作用下保持静止状态．此时PQNM回路消耗的电功率为P=3W，不计导轨的电阻，水平导轨足够长，MN始终在水平导轨上运动．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）F₂的大小和方向；
（3）若改变F₁的作用规律，使MN棒从静止开始运动，运动速度v与位移x满足关系：v=0.4x，PQ棒仍然静止在倾斜轨道上．求MN棒从静止开始到x=5m的过程中，MN棒产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）MN向右运动切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，PQ相当于外电路．要求PQ消耗的功率，要先MN产生的感应电动势，由欧姆定律求出电路中电流，即可求得磁感应强度．
（2）根据闭合电路的欧姆定律和平衡条件联立求解．
（3）速度v与位移x成正比，可知电流I、安培力也与位移x成正比，可安培力的平均值求解安培力做的功，再功能关系即可求出系统产生的焦耳热．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律可得：E₁=BLv₁
根据电功率的计算公式可得：P=$\frac{{E}_{1}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
代入数据得：B=1T．
（2）根据闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{BL{v}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=1A 
根据安培力的计算公式可得：F_安=BIL=1N
根据平衡条件可得：F₂+F_安cos 37°=mgsin 37°
代入数据：F₂=0.4 N；   
F₂的方向沿斜面向上；
（3）MN棒做变加速直线运动，因为速度v与位移x成正比，所以电流I、安培力F_安也与位移x成正比，当x=5 m时：
克服安培力做功为：W_A=$\frac{1}{2}BL•\frac{BLv}{{R}_{1}+{R}_{2}}•x$=$\frac{5}{3}J$
根据功能关系可得：Q=W_A=$\frac{5}{3}J$
根据能量分配关系可得MN棒产生的焦耳热Q_MN=$\frac{1}{3}Q$=$\frac{5}{9}J$．   
答：（1）磁感应强度B的大小为1T；
（2）F₂的大小为0.4N，方向沿斜面向上；
（3）MN棒从静止开始到x=5m的过程中，MN棒产生的焦耳热为$\frac{5}{9}J$．

点评 本题是双杆类型，分别研究它们的情况是基础，运用力学和电路、电磁感应的规律研究MN棒，对于功，动能定理是常用的求解方法，本题关键要抓住安培力与位移是线性关系，安培力的平均值等于初末时刻的平均值．