Question

6．如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，x轴沿水平方向．y＜0的区域有竖直向上的匀强电场，电场强度大小为E；在第四象限同时存在着垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x＜0的区域固定一与x轴成θ=30°角的光滑绝缘细杆．一个带电小球a穿在细杆上，小球在A点处由静止释放后沿细杆下滑，滑过P点进入第四象限，在第四象限内做匀速圆周运动且垂直经过x轴上的Q点，已知Q点到坐标原点O的距离为$\frac{3}{2}$L，重力加速度为g，B=E$\sqrt{\frac{2π}{3gL}}$，空气阻力忽略不计，带电小球整个运动过程中电荷量保持不变．求：
（1）带电小球a的电性及其比荷 $\frac{q}{m}$；
（2）小球释放点A与P点的距离d；
（3）当带电小球a刚离开P点时，从y轴正半轴距原点O为h=$\frac{64πL}{3}$的N点（图中未画出）以某一初速度平抛一个不带电的绝缘小球b，b球刚好运动到x轴与向上运动的a球相碰，则b球的初速度为多大？

Answer 1

分析 （1）根据小球在第四象限内做匀速圆周运动，受重力、电场力和洛伦兹力平衡，电场力与重力必须平衡，电场力方向竖直向上，从而判断出小球的电性．由平衡条件求比荷．
（2）画出小球在第四象限内的运动轨迹，由几何知识求出轨道半径，再由牛顿第二定律求出小球的速率，再研究A到P过程，由动能定理求得AP间的距离．
（3）b球做平抛运动，由平抛运动的规律求其初速度．

解答 解：（1）小球在第四象限内做匀速圆周运动，受重力、电场力和洛伦兹力平衡，电场力与重力必须平衡，小球所受的电场力方向竖直向上，因此小球带正电荷．
由平衡条件得：mg=qE
则得 $\frac{q}{m}$=$\frac{g}{E}$
（2）设小球在第四象限内做匀速圆周运动的轨道半径为r，速率为v．
根据几何知识可得，r+rsin30°=$\frac{3}{2}$L，得 r=L
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
又B=E$\sqrt{\frac{2π}{3gL}}$，
联立解得 v=$\sqrt{\frac{2πgL}{3}}$
小球从A到P的过程，由动能定理得：mgd-qELcos30°=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 d=$\frac{3\sqrt{3}+2π}{6}$L
（3）b球做平抛运动，则有 $\frac{3}{2}$L=v₀t，h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又h=$\frac{64πL}{3}$
联立解得 v₀=$\frac{3}{16}\sqrt{\frac{3gL}{2π}}$
答：
（1）带电小球a的电性是正电，其比荷$\frac{q}{m}$是$\frac{g}{E}$；
（2）小球释放点A与P点的距离d是$\frac{3\sqrt{3}+2π}{6}$L；
（3）b球的初速度为$\frac{3}{16}\sqrt{\frac{3gL}{2π}}$．

点评 带电粒子或带电体在复合场中的运动是整个高中的重点，粒子的运动过程中受力分析以及运动情况分析是解题的关键．对于圆周运动，要作出轨迹，由几何知识研究轨道半径．