Question

4．如图所示，AB为倾角θ=37°的斜面轨道，轨道的AC部分光滑、CB部分粗糙，．BP为圆心角等于143°、半径R=1m的竖直光滑圆弧形轨道，两轨道相切于B点，P、O两点在同一竖直线上，轻弹簧一端固定在A点，另一自由端在斜面上C点处，有质量m=2kg的小物块（视为质点）在外力作用下将弹簧缓慢压缩到D点后（不栓接）由静止释放，物块以v_C=12m/s的速度经过C点，物块第一次经过B点后恰能到达P点；其中物块与CB部分的滑动摩擦因数μ=0.25，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）若x_CD=1m，试求物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功；
（2）B、C两点间的距离x_BC；
（3）若在P处安装一个竖直弹性挡板，物块与挡板碰撞时间极短且无机械能损失，物块与弹簧相互作用不损失机械能，通过计算判断物块在第一次与挡板碰撞后的运动过程中是否会脱离轨道？物块第一次与挡板碰撞后到第二次上滑到最高点的过程中摩擦生热为多少？

Answer 1

分析 （1）物块从C点运动到B点过程中，根据动能定理列式，可以求出弹簧对物块所做的功．
（2）物块恰能到达P点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出物块通过P点的速度．从C点到P点过程，利用动能定理求B、C两点间的距离x_BC．
（3）根据动能定理判断物体能否返回时回到与O点等高的位置，若不能回到等高的位置，则小球将不会脱离轨道．根据能量守恒定律求摩擦生热．

解答 解：（1）设弹簧对物块所做的功为W，物块从D点运动到C点的过程中；
由动能定理得：W-mgsin37°•x_CD=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入数据得：W=156J
（2）物块恰能到达P点，物块在P点有：mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$     
从C点到P点过程，由动能定理有：
-mgsin37°•x_BC-μmgcos37°•x_BC-mgR（1+cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$         
解得 x_BC=$\frac{49}{8}$m=6.125m                
（3）由于斜面有摩擦作用，物块与挡板碰后一定不能返回P点，若物块到达与O点等高的位置Q点时速度不为0，则物块会脱离轨道．设物块第一次从圆弧轨道返回并与弹簧相互作用后，回到与O点等高的位置Q点的速度为v_Q；
由动能定理得  mgR-2μmgcos37°•x_BC=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
解得 ${v}_{Q}^{2}$=-19＜0                                         
所以物块返回后不能到达Q点，故物块在以后的运动过程中不会脱离轨道．
设物块与挡板碰撞后第二次上滑到最高点距C点的距离为x，由动能定理得：
  mg[R（1+cos37°）+（x_BC-x）sin37°]-μmgcos37°•（x_BC+x）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
解得  x=$\frac{95}{16}$J=5.9375m＜x_BC                                         
在这一过程中，摩擦生热 Q=μmgcos37°•（x_BC+x）=$\frac{193}{4}$J=48.25J
答：
（1）若x_CD=1m，试求物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功是156J；
（2）B、C两点间的距离x_BC是6.125m；     
（3）物块在以后的运动过程中不会脱离轨道，摩擦生热为48.25J．

点评 本题综合考查了动能定理、机械能守恒定律以及牛顿第二定律，关键理清物体的运动情况，选择合适的规律进行求解．要知道摩擦生热与总路程有关．