Question

宇宙中存在一些离其它恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．稳定的四星系统存在多种形式，其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动；另一种如图所示，四颗恒星始终位于同一直线上，均围绕中点O做匀速圆周运动．已知万有引力常量为G，求：
（1）已知第一种形式中的每颗恒星质量均为m，正方形边长为L，求其中一颗恒星受到的合力．
（2）已知第二种形式中的两外侧恒星质量均为m、两内侧恒星质量均为M，四颗恒星始终位于同一直线，且相邻恒星之间距离相等．求内侧恒星质量M与外侧恒星质量m的比值

M

m

．

Answer 1

分析：（1）四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，其中一个星所受的合力等于其它三个星对它引力的合力．
（2）抓住m和M的角速度相等，通过所受万有引力的合力提供向心力求出内侧恒星质量M与外侧恒星质量m的比值．

解答：解：（1）其中一颗恒星受到的合力F=2×G

m2

L2

cos45°+G

m2

( 2 L)2

=

1+2 2

2

Gm2

L2

．
（2）设相邻恒星之间的距离为L，则有：G

Mm

L2

+G

Mm

(2L)2

+G

m2

(3L)2

=m?2Lω2
G

M2

L2

+G

Mm

(2L)2

-G

Mm

L2

=MLω2
联立两式解得

M

m

=

85

63

答：（1）其中一颗恒星受到的合力为

1+2 2

2

Gm2

L2

．
（2）内侧恒星质量M与外侧恒星质量m的比值

M

m

=

85

63

．

点评：解决本题的关键抓住恒星的角速度相等，结合万有引力提供向心力进行求解．